1 Правильный четырехугольник это квадрат.
Пусть сторонs квадрата равны а, a = 4.
А) Радиус вписанной окружности перпендикулярен одной из сторон квадрата в точке касания, и равен половине стороны квадрата, то есть
R = a/2 = 4/2 = 2 (см).
Б) Теперь найдем радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника, по формуле из общей формулы:
R = a*b*c/(4*S), где a, b, c – стороны произвольного треугольника, S – площадь треугольника.
Частный случай, когда треугольник равносторонний и, применяя теорему синусов:
R = b/(2*sin α), в равностороннем треугольнике все углы равны 60, b – сторона равностороннего (правильного) треугольника.
R = b/(2*sin 60), sin 60 = √3/2.
R = b/√3.
b = R*√3 = 2√3 (см).
2 а) Дуги АВ, ВС, СД и АД равны, значит АВСД - вписанный квадрат.
Длина окружности: С=4ВС=16π см.
С=2πR ⇒ R=C/2π=16π/2π=8 см - это ответ.
б) Диагональ квадрата - это диаметр окружности.
d=D=2R=16 см.
Искомые хорды равны сторонам квадрата: а=d/√2=16/√2=8√2.
АВ=ВС=СД=АД=8√2 см - это ответ.
1.
Відрізки, на які бісектриса прямого кута ділить гіпотенузу, пропорційні прилеглим катетам.
Отже, маємо ΔАВС, ∠С=90°, СК - бісектриса, АК=30 см, ВК=40 см. Знайти АС.
АК/ВК=АС/ВС
30/40=3х/4х
АВ=7=30+40=70 см
За теоремою Піфагора
70²=(3х)²+(4х)²
4900=9х²+16х²
25х²=4900
х²=196; х=14.
АС=14*3=42 см.
Відповідь: 42 см.
2.
Якщо синус В=8/17, то АС/АВ=8/17.
Нехай АС=8х см, АВ=17х см.
За теоремою Піфагора АВ²=АС²+ВС²
(17х)²=(8х)²+30²
289х²-64х²=900
225х²=900
х²=4; х=2
АС=8*2=16 см; АВ=17*2=34 см
Р=30+16+34=80 см
Відповідь: 80 см