Проекции катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника - это отрезки, на которые высота из прямого угла делит гипотенузу. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Отсюда h² =12*3=36 h=6 По теореме Пифагора из треугольников, на которые высота разделила исходный треугольник, найти катеты сложности не представляет. Меньший катет равен 3√5, больший - 6√5 Проверка: Квадрат гипотенузы равен (3√5)²+ (6√5)²=225 Гипотенуза равна √225=15, что соответствует условию задачи.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза BC равна 20, катет AB равен 16. Найдите квадрат расстояния от вершины A до биссектрисы угла C.
Расстояние от точки до прямой измеряется перпендикуляром, проведенным от этой точки до прямой. Сделаем рисунок. Пусть биссектриса угла С будет СК. Биссектриса треугольника (любого) делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон. ⇒ АК:КВ=АС:ВС=12:20=3/5 ⇒АК=АВ:(3+5)*3 АК=6 Рассмотрим ⊿КАС КС - гипотенуза КС=√(АК²+АС²)=√180=6√5 АН можно найти из ⊿АНК. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом высотой АК²=КН*КС 36=КН*6√5 КН=36:6√5=6:√5 АН²=АК²-КН² АН²=36-(36:5)=144/5=28,8 ответ: квадрат расстояния от вершины A до биссектрисы угла C равен 28,8
Рассмотрим ΔАОВ:
ОА = ОВ = r - радиус окружности (т.к. О - центр окружности по условию).
Следовательно:
ΔАОВ - равнобедренный:
<OAB = <OBA
Тогда:
<AOB + 2•<OAB = 180° (1)
Рассмотрим прямую АС:
АС является касательной к окружности в точке А. Значит ОА _|_ АС, и тогда:
<ОАС = <ОАВ + <ВАС = 90° (2)
Найдем <ОАВ из (2) и поставим в (1):
<АОВ + 2•(90° - <ВАС) = 180°
<АОВ + 180° - 2•<ВАС = 180°
<АОВ = 2•<ВАС
Что и требовалось доказать!