1. Сторона треугольника a= 2Rcos30o.
2. 1) Знайдемо радіус вписаного кола у правильний трикутник:
2) Діагональ вписаного у коло квадрата рівна діаметру цього кола і дорівнює подвоєному радіусу:
3) Сторону квадрату знайдемо за т. Піфагора:
3.
4.В трапецию можно вписать окружность, если сумма противоположных сторон равна. то есть AD+BC=AB+CD
Опустим с вершины B трапеции на основание BK высоту BK, тогда
AK=AD-KD=28-21=7
Пусть высота трапеции BK=x, тогда
(AB)^2=(BK)^2+(AK)^2=x^2+7^2
AB=sqrt(x^2+7^2)
Так как
AD+BC=AB+CD, то
21+28=x+sqrt(x^2+7^2)
sqrt(x^2+7^2)=49-x
x^2+7^2=(49-x)^2
x^2+49=2401-98x+x^2
98x=2352
x=24, то есть высота трапеции равна 24
R=H/2
R=24/2=12 - радиус вписанной окружности
Шар вписан в конус. найти наименьший объём конуса, если радиус шара равен 1.
Решение.
1) Рассмотрим осевое сечение данной комбинации тел : равнобедренный ΔАВС , высота ВН , точка О-центр вписанной окружности. К-точка касания окружности со стороной АВ. По условию ОН=ОК=1 ед.
Пусть ВН=h , AH=R. Vкон=1/3*Sосн*h , Sосн=π*R²
Выразим объём через высоту конуса.
Отрезок ВО=ВН-ОН=h-1
По т. Пифагора , ΔABH , АВ²=АН²+ВН²=R²+h² .
2) ΔКВО~ ΔHBA по двум углам(∠В-общий,∠ВКО=АНВ=90° тк радиус перпендикулярен касательной , проведенной в точку касания).
Значит КО:АН=ВО:АВ или 1:R=(h-1): √(R²+h²) ⇒ R²=
.
3) V(h)= 
= 
= 
.
V' = 
=
, V'=0, при h=4 .
V' _ _ _ _(4) + + + +
V ↓ ↑ , значит h=4 точка минимума. Наименьший объём достигается в точке минимума .
V = 
⇒ V=
ед³ .
Две окружности касаются внешним образом. Их радиусы относятся как 3:1, а длина их общей внешней касательной равна 6√3.
Найдите периметр фигуры, образованной внешними касательными и внешними частями окружностей.
––––––––––––––
Обозначим O и O1 центры окружностей радиусов r и 3r соответствено.
Пусть AК и ВМ – общие внешняя касательные этих окружностей (точки A и В лежат на меньшей окружности, К и М– на большей). Соединим точки касания и радиусы соответственных окружностей.
Из О проведем перпендикуляр ОН к КО1.
АКНО – прямоугольник.
В ⊿ ОНО1 катет ОН=АК=6√3; катет НО1=2r, гипотенуза ОО1=r+3r=4r
Катет О1Н рпвен половине гипотенузы ОО1, следовательно,
∠ НОО1=30º, ∠ НО1=60º, и длина ОО1=ОН:sin 60º
4r=ОО1=6√3):(√3/2)=12
r=12:4=3
О1К=3r=9
Искомый периметр - сумма: ◡АВ -меньшей окружности, ◡КМ - большей окружности и длин АК и ВМ двух общих касательных.
∠АОО1=О1ОВ=∠АОН+∠НОО1=90°+30°=120°
◡АВ содержит угол АОВ=120º и равна 1/3 длины С меньшей окружности
С=2πr=6π
◡АВ=2π
∠КО1М=2∠КО1О=120°
меньшая ◡КМ внутри фигуры=1/3 длины окружности, большая
◡КМ =2/3 длины С1 большей окружности
С1=2π•9=18p
◡КМ=12π
Периметр равен сумме найденных длин дуг и длин двух общих внешних касательных.
Р=2π+12π+2•6√3=14π+12√3