Question

Через вершину а треугольника аbc к стороне bc проведены прямые ad и ae. одна из них образует со стороной ab угол,равный углу c,а другая со стороной ac угол,равный углу b. докажите,что треугольник ade равнобедренный.

Answer 1

Пусть $\angle BAD = \angle C = \gamma$,  $\angle EAC = \angle B = \beta$.
Из треугольника ABD $\angle BDA = 180 ^{\circ} - (\angle BAD + \angle B) = 180^{\circ} - (\gamma + \beta)$.
Из треугольника CAE $\angle AEC= 180 ^{\circ} - (\angle C+ \angle EAC) = 180^{\circ} - (\gamma + \beta)$.

Рассмотрим треугольник ADE. Так как углы BDA и ADE - смежные, то
$\angle ADE= 180 ^{\circ} - \angle BDA = 180^{\circ} - (180^{\circ}-(\gamma + \beta)) = \gamma + \beta$.
Аналогично, углы AEC и AED - смежные, значит, и 
$\angle AED= 180 ^{\circ} - \angle AEC = 180^{\circ} - (180^{\circ}-(\gamma + \beta)) = \gamma + \beta$.
Получаем равные значения для углов ADE и AED, что позволяет нам сделать вывод - треугольник ADE - равнобедренный.