a) Параллельные отсекают от угла подобные треугольники.
Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.
MBN~ABC, MN/AC=1/2, S(MBN)= 1/4 S(ABC)
EBF~ABC, EB/AB=1/3, S(EBF)= 1/9 S(ABC)
S(MEFN) =S(MBN)-S(EBF) =(1/4 -1/9)S(ABC) =5/36 S(ABC)
б) Площади треугольников с равным углом относятся как произведения прилежащих сторон.
S(DBK)/S(ABC) =DB*BK/AB*BC =DB/AB *BK/BC =1/3 *4/7 =4/21
S(KCM)/S(BCA) =KC*CM/BC*CA =3/7 *1/4 =3/28
S(MAD)/S(CAB) =MA*AD/CA*AB =3/4 *2/3 =1/2
S(DKM) =S(ABC)-S(DBK)-S(KCM)-S(MAD) =
(1 -4/21 -3/28 -1/2)S(ABC) =(84-16-9-42)/84 *S(ABC) =17/84 S(ABC)
Чтобы найти угол, используем формулу скалярного произведения через косинус угла между векторами и выразим из нее угол:
a = AB = (1+1;2-0) = (2;2)
b = ВС = (-3-1;2-2) = (-4;0)
a*b - скалярное произведение. У нас даны координаты двух векторов, поэтому находим его по второй формуле:
a*b = x1x2 + y1y2
AB*BC = 2*(-4) + 2*0 = -8
Находим длины двух векторов:
|AB| = √2²+2² = √8 = 2√2
|BC| = √-4²+0² = 4
cos(AB;ВС) = -8 / 8√2 = -1/√2
-1√2 = 135°
ответ: 135°