Question

Найдите косинус угла В треугольника АВС, если А(2;-4;2), В(3;-3;3), С(4;0;1)

Answer 1

Найдите косинус угла В треугольника АВС, если А(2;-4;2), В(3;-3;3), С(4;0;1)

. Векторный (*).

Координаты вектора ВА( -1;-1 ;-1) , вектора ВС(1; 3;-2).

Длины векторов |BA|=√((-1)²+(-1)²+(-1)²)=√3,   |BC|=√(1²+3³+(-2)²)=√14  .

cos B= $\frac{-1*1+(-1)*3+(-1)*(-2)}{\sqrt{3}*\sqrt{14} } =\frac{-2}{\sqrt{42} } =\frac{-\sqrt{42} }{21}$ .

2 cпособ. По т. косинусов (**).

Для ΔАВС применим т. косинусов:   АС²=АВ²+ВС²-2*АВ*ВС*cosВ.

Найдем длины сторон треугольника по формуле расстояния между точками (***)    АВ=√( (3-2)²+(-3+4)²+(3-2)² )=√(1+1+1)=√3,

АС=√(2²+4²+(-1)²)=√21,       ВС=√(1²+3²+(-2)²)=√14.

Тогда     √21²=√3²+√14²-2*√3*√14*cosВ,

cosВ =$\frac{3+14-21}{2\sqrt{42} }$ = $\frac{-4}{2\sqrt{42} }$= $\frac{-\sqrt{42} }{21}$  .

===================================  

(*)Косинус угла между векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их длин.

(**)Квадрат стороны треугольника равняется сумме квадратов 2-х других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

(***)d=√( (х₁-х₂)²+(у₁-у₂)²+ (z₁-z₂)²),  где (х₁;у₁; z₁),  (х₂;у₂; z₂) -координаты концов отрезка.