Question

Ребро куба равно а. найдите кратчайшее расстояние между диагональю куба и диагональю основания куба, которые не имеют общих точек.

Answer 1

Кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми,  диагональю куба и диагональю основания куба, это расстояние между одной из двух прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.
Построим плоскость, проходящую через прямую BD параллельно прямой АС1.
Возьмем точку К - середину отрезка СС1,  АС1 параллельна ОК ( т к ОК средняя линия в треугольнике АСС1). 
По признаку параллельности прямой и плоскости АС1 параллельна плоскости BDK. Найдем расстояние между ними, оно рано расстоянию между параллельными прямыми АС1 и ОК.  Опустим перпендикуляр ОН на АС1 и найдем его длину с треугольника АОС1.
$AC=a \sqrt{2};AO= \frac{1}{2}AC= \frac{1}{2}a \sqrt{2};AC_{1}=a \sqrt{3};$
$OC _{1}= \sqrt{OC ^{2}+CC _{1} ^{2} }= \sqrt{ \frac{1}{2} a^{2}+a^{2} }=a \sqrt{ \frac{3}{2} };$

Пусть AH=x;HC1=AC1-x;

Выразим ОН из двух треугольников.
$OH ^{2}=AO ^{2}-AH^{2} =OC _{1} ^{2}-HC _{1} ^{2};$
$\frac{1}{2} a^{2}- x^{2}= \frac{3}{2} a^{2}-(a \sqrt{3}-x ) ^{2};$
$a^{2}+ x^{2}-3 a^{2}+2ax \sqrt{3}- x^{2} =0;$
$2ax \sqrt{3}=2 a^{2};x= \frac{a}{ \sqrt{3} };$

$OH= \sqrt{ \frac{1}{2} a^{2}- \frac{1}{3} a^{2} } = \frac{a}{ \ \sqrt{6} } .$

ответ $\frac{a}{ \sqrt{6} }$