Question

Впрямоугольный треугольник вписали круг. точка соприкосновения делит один из катетов на отрезки длинною 3 см и 9 см, начиная от вершины прямого угла. найдите другой катет и гипотенузу

Answer 1

, конечно, маловато. Обозначим треугольник АВС. С- прямой угол. Точки соприкосновения со стороной АС назовем К, а со стороной СВ - М. Заметим, что АС=АК+КС=9+3=12 см. Заметим, что СКОМ - квадрат, так как ОК перпендикулярно АС - так как АС - касательная к вписанной окружности. С - прямой угол по условию задачи. ОМ перпендикулярно СВ, так как СВ - касательная к вписанной окружности. На оставшийся угол КОМ остается 90 градусов по свойству сумм углов четырехугольника в евклидовой геометрии. Сумма углов четырехугольника равна 360 градусам. 3 известных угла -прямые, значит на четвертый угол КОМ остается 360-3*90=360-270=90градусов. Заметим, что СК=ОК=3 см. Значит длина радиуса вписанной окружности равна 3 см. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. S=0,5AC*CB=0,5*12*CB=6CB (1).

С другой стороны S=p*r, где r - радиус вписанной окружности, р - полупериметр.
S=3*p.
S=3*0,5*(AC+CB+AB).
S=3*0,5*(12+CB+AB).
По теореме Пифагора $AB=\sqrt{AC^2+CB^2}$
Или $AB=\sqrt{12^2+CB^2}$
$AB=\sqrt{144+CB^2}$
Значит по-другому
$S=3*0,5*(12+CB+\sqrt{144+CB^2})\quad(2)$

Приравняем правые части уравнений (1) и (2). Найдем катет СВ.

$6CB=3*0,5*(12+CB+\sqrt{144+CB^2})$

Сократим обе части на 3.

$2CB=0,5*(12+CB+\sqrt{144+CB^2})$

Умножим обе части на 2

$4CB=12+CB+\sqrt{144+CB^2}$

$4CB-12-CB=\sqrt{144+CB^2}$

$3CB-12=\sqrt{144+CB^2}$

Возведем обе части в квадрат

$9CB^2-72CB+144=144+CB^2$

Сократим обе части на слагаемое 144.

$9CB^2-72CB=CB^2$

Перенесем все в одну часть

$9CB^2-72CB-CB^2=0$

$8CB^2-72CB=0$

Сократим обе части на 8.

$CB^2-9CB=0$

$CB*(CB-9)=0$

Первый ответ СВ=0 - не подходит по смыслу задачи. Второй ответ СВ=9 см - подойдет.

Гипотенузу вычислим по той же теореме Пифагора

  $AB=\sqrt{144+CB^2}$

$AB=\sqrt{144+9^2}$

$AB=\sqrt{144+81}$

$AB=\sqrt{225}$

$AB=\sqrt{15^2}$

AB=15 см

ответ: неизвестный катет равен СB=9 см, гипотенуза равна AB=15 см.