Надо решить катеты прямоугольного треугольнтка равны 6 и 8 см.из вершины прямого угла проведены высота и медиана которые делят гипотенузу на три части.найти длины этих частей
1)Существует ли треугольник,две биссектриссы которого перпендикулярны?почему? НЕТ, так как если две бисектриссы перпендикулярны, то угол между ними 90*, соответственно сумма двух углов треугольника, образованного стороной данного треугольника и биссектрисами равна 90*, значит сумма двух углов треугольника (из которых проведены биссектрисы) равна 180*, а значит это не треугольник, так как в треугольнике сумма трех углов равна 180*
2)доказать ,что биссектисса прямого угла треугольника делит пополам угол между медианой и высотой, проведёнными из вершины прямого угла?
если треугольник прямоугольный и равнобедренный, то биссектриса прямого угла, медиана и высота совпадают, если прямоугольный треугольник не равнобедренный, то: угол А>45*, угол С<45* ВК-высота, следовательно угол АВК<45* ВЕ-биссектриса, следовательно угол АВЕ=45* ВО-медиана, следовательно угол АВО>45* (так как ВО=АО=СО, а угол А>45*) видно, что ВЕ лежит между ВК и ВО. Доказано.
3)Доказать ,что в прямоугольном треугольнике длины всех его сторон не могут быть нечётными числами? так как в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то: если длины катетов отрицательные числа, то их квадраты тоже отрицательные, а сумма двух отрицат. чисел - число положительное, следовательно длина третьей стороны будет число положительное
4)определить вид треугольника АВС, если а+h(a)=b+h(b) прямоугольный, так как (а,в)-катеты, h(a)=в, h(в)=а
5)медиана АМ треугольника АВС равна половине стороны ВС.Угол между АМ и высотой АН равен 40 градусов.Найти углы треугольника АВС так как АМ-медиана и равна половине стороны ВС, то треугольник АВС-прямоугольный, угол А=90* угол АНМ=90*, так как АН-высота, угол АМН=180-90-40*=50*, треугольник АМВ-равнобедренный, угол ВАМ=АВМ=(180-50)/2=65*, угол С=180-90-65=25* ответ: углы треугольника равны: А=90*, В=65*, С=25*
6)Сумма катетов в прямоугольном треугольнике равна 8.Может ли его гпотенуза равняться 5? х - один катет 8-х второй катет х" + (8-х)" = 25 (теорема Пифагора) х"+64-16х+х"-25=0 2х"-16х+39=0 D=256-312 <0 решений нет ответ: нет
7)В треугольнике АВС АС=3,ВС=4.Окружность с центром в точке А проходит через точку С и пересекает гипотенузу АВ в точке К найдите отношение длин отрезков АК и ВК? АВ=√(АС"+ВС")=√(9+16)=5 АС=АК=3 ВК=5-3=2 АК/ВК = 3/2
8)В прямоугольном треугольнике медианы, проведённы к катетам, равны корень из 52 и корень из 73. найдите гипотенузу? х - катет у - катет z - гипотенуза х"+(у/2)" = 52 у"+(х/2)"=73 4х"+у"=208 у"=208-4х" 208-4х"+(х/2)"=73 15х"=540 х"=36 х=6 у=8 z = √(х"+у") = √(36+64) = 10 ответ: 10
9)В прямоугольном треугольнике один из катетов больше медианы,проведённой из вершины прямого угла, на 0,5 . найдите его площадь,если второй катет равен 4? х - неизвестный катет у - медиана, 2у - гипотенуза х = у+0,5 4 - второй катет 16+(у+0,5)" = (2у)" 16+у"+у+0,25=4у" 3у"-у-16,25=0 D=1+195=196 у=(1+14)/6=2,5 гипотенуза равна 2,5*2=5 х=3 S = 3*4/2=6 ответ: 6
10)В треугольнике АВС известны стороны АС=2, АВ=3, ВС=4.Пусть ВD- высота треугольника. (D на прямой АС) Найти длину отрезка АD& х - длина отрезка АД (2-х) длина СД ВС"-СД" = АВ"-АД" 16-(2+х)" = 9-х" 16-4-4х-х"-9+х"=0 4х=3 х=3/4 ответ: АД=3/4
Определение Фигура называется симметричной относительно точки О, если для любой точки фигуры точка, симметричная ей, также принадлежит данной фигуре. Точка О называется центром симметрии, а фигура обладает центральной симметрией. ------------------------ Обозначим середину основания данного равнобедренного треугольника О. Треугольник, симметричный данному относительно точки О - равнобедренный треугольник А₁В₁С₁ со сторонами 10 см. Получившийся четырехугольник - ромб. Периметр его 10*4=40 см Острые углы треугольника АВС=(180º-120º):2=30º Острый угол ромба ∠BAC+ ∠В₁С₁А₁=30°+30°=60°. Половина меньшей диагонали противолежит углу 30° и равна АВ:2=5 см Вся диагональ ВВ₁=5*2=10 см
Пусть в треугольнике ABC биссектрисы AD и CE пересекаются в точке O, при этом угол AOC прямой. Сумма углов любого треугольника равна 180 градусам, тогда сумма углов OCA и OAC треугольника AOC равна 90 градусам. Пусть OCA=a, OAC=b, a+b=90. По свойству биссектрисы, угол OCA равен половине угла ACB, тогда ACB=2a. Аналогично, угол OAC равен половине угла BAC, тогда BAC=2b. Следовательно, ACB+BAC=2a+2b=180, то есть, сумма двух углов треугольника ABC равна 180 градусам. Этого быть не может, то есть, мы получили противоречие. Значит, биссектрисы двух углов пересекаться под прямым углом не могут.
НЕТ, так как если две бисектриссы перпендикулярны, то угол между ними 90*, соответственно сумма двух углов треугольника, образованного стороной данного треугольника и биссектрисами равна 90*, значит сумма двух углов треугольника (из которых проведены биссектрисы) равна 180*, а значит это не треугольник, так как в треугольнике сумма трех углов равна 180*
2)доказать ,что биссектисса прямого угла треугольника делит пополам угол между медианой и высотой, проведёнными из вершины прямого угла?
если треугольник прямоугольный и равнобедренный, то биссектриса прямого угла, медиана и высота совпадают,
если прямоугольный треугольник не равнобедренный, то:
угол А>45*, угол С<45*
ВК-высота, следовательно угол АВК<45*
ВЕ-биссектриса, следовательно угол АВЕ=45*
ВО-медиана, следовательно угол АВО>45* (так как ВО=АО=СО, а угол А>45*)
видно, что ВЕ лежит между ВК и ВО. Доказано.
3)Доказать ,что в прямоугольном треугольнике длины всех его сторон не могут быть нечётными числами?
так как в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то:
если длины катетов отрицательные числа, то их квадраты тоже отрицательные, а сумма двух отрицат. чисел - число положительное, следовательно длина третьей стороны будет число положительное
4)определить вид треугольника АВС, если а+h(a)=b+h(b)
прямоугольный, так как (а,в)-катеты, h(a)=в, h(в)=а
5)медиана АМ треугольника АВС равна половине стороны ВС.Угол между АМ и высотой АН равен 40 градусов.Найти углы треугольника АВС
так как АМ-медиана и равна половине стороны ВС, то треугольник АВС-прямоугольный, угол А=90*
угол АНМ=90*, так как АН-высота, угол АМН=180-90-40*=50*,
треугольник АМВ-равнобедренный, угол ВАМ=АВМ=(180-50)/2=65*,
угол С=180-90-65=25*
ответ: углы треугольника равны: А=90*, В=65*, С=25*
6)Сумма катетов в прямоугольном треугольнике равна 8.Может ли его гпотенуза равняться 5?
х - один катет
8-х второй катет
х" + (8-х)" = 25 (теорема Пифагора)
х"+64-16х+х"-25=0
2х"-16х+39=0
D=256-312 <0
решений нет
ответ: нет
7)В треугольнике АВС АС=3,ВС=4.Окружность с центром в точке А проходит через точку С и пересекает гипотенузу АВ в точке К найдите отношение длин отрезков АК и ВК?
АВ=√(АС"+ВС")=√(9+16)=5
АС=АК=3
ВК=5-3=2
АК/ВК = 3/2
8)В прямоугольном треугольнике медианы, проведённы к катетам, равны корень из 52 и корень из 73.
найдите гипотенузу?
х - катет
у - катет
z - гипотенуза
х"+(у/2)" = 52
у"+(х/2)"=73
4х"+у"=208
у"=208-4х"
208-4х"+(х/2)"=73
15х"=540
х"=36
х=6
у=8
z = √(х"+у") = √(36+64) = 10
ответ: 10
9)В прямоугольном треугольнике один из катетов больше медианы,проведённой из вершины прямого угла, на 0,5 .
найдите его площадь,если второй катет равен 4?
х - неизвестный катет
у - медиана,
2у - гипотенуза
х = у+0,5
4 - второй катет
16+(у+0,5)" = (2у)"
16+у"+у+0,25=4у"
3у"-у-16,25=0
D=1+195=196
у=(1+14)/6=2,5
гипотенуза равна 2,5*2=5
х=3
S = 3*4/2=6
ответ: 6
10)В треугольнике АВС известны стороны АС=2, АВ=3, ВС=4.Пусть ВD- высота треугольника.
(D на прямой АС) Найти длину отрезка АD&
х - длина отрезка АД
(2-х) длина СД
ВС"-СД" = АВ"-АД"
16-(2+х)" = 9-х"
16-4-4х-х"-9+х"=0
4х=3
х=3/4
ответ: АД=3/4