Через вершину конуса і хорду його основи проведено площину, яка утворює з основою конуса кут 60°. Знайдіть об'єм конуса, якщо цю хорду видно з центра основи конуса під кутом 90° і вона віддалена від центра основи на 6 см.
Чтобы найти площадь сечения, которое является кругом, нужно знать его радиус r. Найдем его, рассмотрев сечение шара плоскостью, перпендикулярной искомому сечению (тому, площадь которого мы должны найти). (Смотри рисунок.)
Рассматриваемое сечение - тоже круг, его центр О совпадает с центром шара, а радиус R = 25 см. Проведем хорду АВ. Это - диаметр искомого сечения. Расстояние до него - длина перпендикуляра, опущенного на АВ из точки О (обозначим его ОН). Длина этого перпендикуляра h = 20 см. Получился прямоугольный треугольник ОАН с гипотенузой R и катетами h и r. По теореме Пифагора найдем r:
Если точка равноудалена от осей координат, то ее координаты равны.
Эту точку можно рассматривать как центр окружности, которая проходит через точку с координатами (3 ; 6) и касается осей координат. Уравнение окружности: (x - x₀)² + (y - y₀)² = R² здесь х и у - координаты любой точки окружности, х₀ и у₀ - координаты центра (и координаты искомой точки), R - радиус окружности.
Так искомая точка равноудалена от осей координат и окружность касается осей, то x₀ = y₀ = R
Подставим в уравнение окружности вместо х и у данные координаты точки (3 ; 6) и x₀ вместо у₀ и R: (3 - x₀)² + (6 - x₀)² = x₀² 9 - 6x₀ + x₀² + 36 - 12x₀ + x₀² - x₀² = 0 x₀² - 18x₀ + 45 = 0 x₀ = 3 или x₀ = 15 по теореме Виета
Оба значения подходят (иллюстрация второго случая - на втором рисунке), значит координаты искомой точки (3 ; 3) или (15 ; 15)
Объяснение:
Чтобы найти площадь сечения, которое является кругом, нужно знать его радиус r. Найдем его, рассмотрев сечение шара плоскостью, перпендикулярной искомому сечению (тому, площадь которого мы должны найти). (Смотри рисунок.)
Рассматриваемое сечение - тоже круг, его центр О совпадает с центром шара, а радиус R = 25 см. Проведем хорду АВ. Это - диаметр искомого сечения. Расстояние до него - длина перпендикуляра, опущенного на АВ из точки О (обозначим его ОН). Длина этого перпендикуляра h = 20 см. Получился прямоугольный треугольник ОАН с гипотенузой R и катетами h и r. По теореме Пифагора найдем r:
.
Теперь находим площадь сечения:
≈706,86