Question

трапеция ABCD с основаниями AD равно 14 BC равно 9 и боковыми сторонами AB равно 6 CD равно 7 проведена диагональ АC в каждой из треугольников adc и ABC вписана окружности Найдите расстояние между точками касания окружности и диагональю AC ​

Answer 1

Для начала рассмотрим треугольник ADC. Мы знаем, что диагональ AC является диаметром вписанной окружности в этом треугольнике. Поэтому, каждая из сторон треугольника DC и AD является радиусом окружности.

Мы знаем, что AD = 14, а DC = 7. Так как диагональ треугольника ADC является диаметром окружности, радиус окружности равен половине длины диагонали, то есть радиус окружности в треугольнике ADC равен 7/2 = 3.5.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Строим его высоту, которая проходит через точку касания окружности с диагональю AC. Обозначим точку касания как E.

Согласно свойству касательной, высота, проведенная к основанию трапеции, разделяет его на две равные части.

Поскольку EB – это радиус окружности, точка E делит сторону AB на две равные части. Так как AB = 6, значит AE = EB = 6 / 2 = 3.

Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника – AED и BEC. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы выразить расстояние между точками касания и диагональю AC.

В треугольнике AED:
AD^2 = AE^2 + ED^2
ED^2 = AD^2 - AE^2
ED^2 = 14^2 - 3^2
ED^2 = 196 - 9
ED^2 = 187
ED = √187

Аналогично, в треугольнике BEC:
BC^2 = BE^2 + EC^2
EC^2 = BC^2 - BE^2
EC^2 = 9^2 - 3^2
EC^2 = 81 - 9
EC^2 = 72
EC = √72

Таким образом, расстояние между точками касания окружности и диагональю AC равно √187 + √72.