Question

ABC ~ A1B1C1, высота из точки C - h, биссектриса - b, медиана - m. В треугольнике A1B1C1, соответственно, h1,b1,m1. Докажите, что h1/h = m1/m = b1/b = k.

Answer 1

ABC ~ A1B1C1, высота из точки C - h, биссектриса - b, медиана - m. В треугольнике A1B1C1, соответственно, h1,b1,m1. Докажите, что h1/h = m1/m = b1/b = k.

Объяснение:  Т.к.  ABC ~ A₁B₁С₁  то

- сходственные стороны пропорциональны $\frac{AB}{A_1B_1} =\frac{BC}{B_1C_1} =k$  (@) ⇒  $\frac{B M}{B_1M_1} =\frac{BC}{B_1C_1} =k$ (**) , тк М-середина АВ;

- соответственные углы равны ∠В=∠B₁ ⇒ половины этих углов тоже равны ∠ВСК=∠B₁С₁К₁ (*).

1) ΔСВН  ~ ΔС₁В₁Н ₁ по 2-м углам : ∠В-общий , ∠СНВ =∠С₁Н₁В₁=90° ⇒ сходственные стороны пропорциональны $\frac{BC}{B_1C_1} =\frac{h}{h_1}$ .

2) ΔСВК  ~ ΔС₁В₁К ₁ по 2-м углам : ∠В-общий , ∠КСВ =∠К₁С₁В₁ ( см *) ⇒сходственные стороны пропорциональны  $\frac{BC}{B_1C_1} =\frac{b}{b_1}$.

3) ΔСВM  ~ ΔС₁В₁M ₁ по 2-м пропорциональным сторонам и равному углу между ними : ∠В-общий , $\frac{B M}{B_1M_1} =\frac{BC}{B_1C_1}$   ( см **) ⇒сходственные стороны пропорциональны   $\frac{BC}{B_1C_1} =\frac{m}{m_1}$ .

       Итак, учитывая п. 1)2)3) получили

$\\\frac{BC}{B_1C_1} =\frac{b}{b_1}=\frac{h}{h_1} =\frac{m}{m_1} \\\\\frac{B_1C_1}{BC} =\frac{b_1}{b}=\frac{h_1}{h} =\frac{m_1}{m}$  ,учитывая (@) получаем   ,$k=\frac{b_1}{b}=\frac{h_1}{h} =\frac{m_1}{m}$ .