Пусть Н - середина ВС. Тогда АН - медиана и высота равностороннего треугольника АВС.
По формуле высоты равностороннего треугольника:
АН = АВ√3/2 = 8√3/3 · √3 / 2 = 4.
Проведем ОК║АН. Тогда ОК⊥ВС. ОК - проекция DK на плоскость АВС, значит и DK⊥BC по теореме о трех перпендикулярах.
∠DKO - линейный угол двугранного угла между плоскостями АВС и DBC - искомый.
Так как О - середина АС и ОК║АН, то ОК - средняя линия треугольника АНС (по признаку).
ОК = 1/2 АН = 4/2 = 2.
ΔDOK: ∠DOK = 90°,
tg∠DKO = DO / OK = 3/2
∠DKO = arctg(3/2)
обозначить a и b, то
вписанная окружность существует при условии:
2a = 2b, т.е. параллелограмм должен быть ромбом (a=b)
из периметра находим сторону 40/4 = 10
описанная окружность существует при условии:
суммы противоположных углов равны и = 180°,
у параллелограмма противоположные углы равны,
получается, что один угол параллелограмма 180/2 = 90°
т.е. ромб должен быть квадратом
для вписанного квадрата его диагональ --диаметр описанной окружности)))
находим диагональ по т.Пифагора = 10√2
радиус описанной окружности = 5√2
для описанного квадрата его сторона --диаметр вписанной окружности)))
радиус вписанной окружности = 10/2 = 5