Даны точки А (3;4;5), В(0;0;1), С (1;1;1), D (0;1;0) . Найдите угол между векторами АС и BD

Question

Геометрия: Даны точки А (3;4;5), В(0;0;1), С (1;1;1), D (0;1;0) . Найдите угол между векторами АС и BD

4ex9s · Accepted Answer

Обозначим катеты а и b.
По теореме Пифагора
a²+b²=16²

S=a·b/2

Решаем систему двух уравнений с двумя неизвестными
a²+b²=256
a·b=64√2 ⇒   b=64√2/a

a²+(64√2/a)²=256
a⁴-256a²+8192=0
D=256²-4·8192=65536-32768=32768=(128√2)²

a²=(256-(128√2))/2=128-64√2 или   а²=(256+(128√2))/2=128+64√2
a₁=√(128-64√2)=8·√ (2-√2)    или    a₂=8·√(2+√2)

b₁=64·√2/8√(2-√2) =8·√2·√(2+√2)/ √(2-√2)√(2+√2)=
=8√2·√(2+√2)/√(2²-(√2)²)=
=8√2·√(2+√2)/√2= 8·√(2+√2)

b₂=64√2/8√(2+√2) =8√2·√(2-√2)/ √(2-√2)√(2+√2)=
=8√2·√(2-√2)/√(2²-(√2)²)=
=8√2·√(2-√2)/√2= 8·√(2-√2)

tgα=a₁/b₁=8·√(2-√2)/8·√(2+√2) =√(2-√2)/√(2+√2)=
=√(2-√2)√(2-√2)/√(2+√2)√(2-√2)=
=√(6-4√2)/√2=√(3√2-4)
или
tgα=a₂/b₂=8·√(2+√2)/8·√(2-√2) =√(2+√2)/√(2-√2)=
=√(2+√2)√(2+√2)/√(2+√2)√(2-√2)=
=√(6+4√2)/√2=√(3√2+4)

MOGZ ответил