Відповідь:
а) по 16 см
б) 12см, 16см, 20см
в) 6см, 8см, 10см
Пояснення:
а) Нехай х - коефіцієнт пропорційності, тоді сторони = по х см
х + х + х = 48
3х = 48
х = 16см
Отже, кожна сторона = по 16см
б) Нехай х - коефіцієнт пропорційності, тоді перша сторона = 3х, друга = 4х, а третя = 5х
3х + 4х + 5х = 48
12х = 48
х = 4
перша сторона = 12см, друга = 16см, а третя = 20см
в) Нехай х - коефіцієнт пропорційності, тоді перша сторона = 7х, друга = 7х, а третя = 10х
7х + 7х + 10х = 48
24х = 48
х = 2
перша сторона = 6см, друга = 8см, а третя = 10см
Если обозначить медиану m, а обе половинки стороны, к которой она проведена, буквой c (то есть вся сторона равна 2c), то из теоремы синусов для обоих треугольников, на которые медиана делит исходный треугольник, следует
m/c = sin(90° - 4x)/sin(11x) = cos(4x)/sin(11x);
m/c = sin(90° - 11x)/sin(4x) = cos(11x)/sin(4x);
откуда сразу следует sin(8x) = sin(22x); или sin(7x)*cos(15x) = 0;
легко видеть, что по смыслу задачи 7x < 180°; то есть sin(7x) не равен 0;
то есть остается cos(15x) =0;
опять таки, по смыслу задачи, весь угол при вершине, из которой выходят высота и медиана, как раз и равен 15x; единственное осмысленное решение, таким образом, соответствует случаю, когда этот угол прямой - только в этом случае косинус угла равен 0; более старшие решения геометрически невозможны.
отсюда x = 6; и углы треугольника 90; 24; 66;