Question

В трапеции ABCD основания AD и ВС относятся как 3 : 2, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А и В и касающейся прямой CD, если АВ = 11.

Answer 1

Если продлить боковые стороны до пересечения, то получится прямоугольный треугольник.

Если есть прямоугольная система координат XOY  (внимание - буквой O обозначено начало кооринат, а не центр окружности! в применении к задаче - это точка пересечения AB и CD) и окружность, касающаяся оси OY и пресекающая ось OX в 2 точках, то её уравнение в самом общем виде (x - R)^2 + (y - a)^2 = R^2; точка (R, a) - центр.

=> x^2 - 2xR + (y-a)^2 = 0; при y = 0; x^2 - 2xR + a^2 = 0;

корни R - √(R^2 - a^2) и R + √(R^2 - a^2); пусть эти точки совпадают с точками A и B в условии, тогда при AB = 11

2√(R^2 - a^2) = 11;

Еще неиспользованное условие - AD/DC = 3/2; из того, что треугольники OBC и OAD подобны (я напоминаю, что буквой O я обозначил начало координат, а не центр окружности), ясно, что OA/OB = 3/2; или

(R + √(R^2 - a^2))/(R - √(R^2 - a^2)) = 3/2;

ну вот, по смыслу задача решилась, и ответ гораздо ближе, чем кажется :) потому что

простая подстановка дает

(R + 11/2)/(R - 11/2) = 3/2; => R = 55/2;