17.4 Точку на катете прямоугольного треугольника соединили отрезком с его противоположной вершиной. Докажите, что длина полученного от резка больше гипотенузы треугольника (рис. 17.15).
Рассмотрим заданный прямоугольный треугольник ABC, где AC – гипотенуза, а AB и BC – катеты. Пусть точку на катете AB обозначим как X, а противоположную ей вершину треугольника - как D.
Для доказательства неравенства мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, которая гласит: в прямоугольном треугольнике с катетами a и b и гипотенузой c справедливо равенство a² + b² = c².
Мы хотим доказать, что отрезок XD больше гипотенузы AC, то есть XD > AC.
Для начала, нам нужно выразить длину отрезка XD через длины сторон треугольника. Обратимся к треугольнику ADC.
Заметим, что это прямоугольный треугольник, где AC - гипотенуза и XD - катет.
Согласно теореме Пифагора, в треугольнике ADC справедливо: AD² + XD² = AC².
Теперь, мы знаем, что AD = AB + BD и AC = AB + BC.
Подставим эти значения в предыдущее равенство и получим: (AB + BD)² + XD² = (AB + BC)².
Раскроем квадраты в левой и правой частях уравнения и получим:
Заметим, что 2AB * BD - это произведение двух положительных чисел (так как длины сторон треугольника неотрицательны) и поэтому оно больше или равно нулю: 2AB * BD ≥ 0.
Из этого следует, что XD² ≥ BC² - BD².
Теперь, заметим, что BC > BD (так как BD это катет треугольника, а BC это его гипотенуза).
Поэтому в предыдущем неравенстве можно сделать вывод, что XD² ≥ BC² - BD² > BD² - BD² = 0.
Значит, отрезок XD является неотрицательным числом.
Следовательно, мы можем применить квадратный корень к обеим частям неравенства:
√(XD²) ≥ √(BC² - BD²).
Это равносильно XD ≥ √(BC² - BD²).
Теперь, нам нужно доказать, что √(BC² - BD²) > AC.
Для начала, применим тот факт, что √(a - b) ≥ √(a) - √(b) для неотрицательных a и b.
Тогда, по этому факту, мы можем утверждать, что √(BC² - BD²) ≥ √(BC²) - √(BD²).
Так как BC > BD, то √(BC²) > √(BD²).
Тогда, мы можем записать, что √(BC²) - √(BD²) > √(BD²) - √(BD²).
Очевидно, что √(BD²) - √(BD²) равно нулю.
Таким образом, мы получаем, что √(BC² - BD²) > 0.
Теперь мы можем записать неравенство: XD ≥ √(BC² - BD²) > 0.
Так как √(BC² - BD²) > 0, то мы можем допустить, что XD > 0.
Следовательно, мы доказали неравенство XD > AC, т.е. длина отрезка, соединяющего точку на катете с противоположной вершиной прямоугольного треугольника, больше его гипотенузы.
Для доказательства неравенства мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, которая гласит: в прямоугольном треугольнике с катетами a и b и гипотенузой c справедливо равенство a² + b² = c².
Мы хотим доказать, что отрезок XD больше гипотенузы AC, то есть XD > AC.
Для начала, нам нужно выразить длину отрезка XD через длины сторон треугольника. Обратимся к треугольнику ADC.
Заметим, что это прямоугольный треугольник, где AC - гипотенуза и XD - катет.
Согласно теореме Пифагора, в треугольнике ADC справедливо: AD² + XD² = AC².
Теперь, мы знаем, что AD = AB + BD и AC = AB + BC.
Подставим эти значения в предыдущее равенство и получим: (AB + BD)² + XD² = (AB + BC)².
Раскроем квадраты в левой и правой частях уравнения и получим:
AB² + 2AB * BD + BD² + XD² = AB² + 2AB * BC + BC².
AB² и AB² сокращаются, остается:
2AB * BD + BD² + XD² = 2AB * BC + BC².
Вычтем из обеих частей уравнения BD² и получим:
2AB * BD + XD² = 2AB * BC + BC² - BD².
Заметим, что 2AB * BD - это произведение двух положительных чисел (так как длины сторон треугольника неотрицательны) и поэтому оно больше или равно нулю: 2AB * BD ≥ 0.
Из этого следует, что XD² ≥ BC² - BD².
Теперь, заметим, что BC > BD (так как BD это катет треугольника, а BC это его гипотенуза).
Поэтому в предыдущем неравенстве можно сделать вывод, что XD² ≥ BC² - BD² > BD² - BD² = 0.
Значит, отрезок XD является неотрицательным числом.
Следовательно, мы можем применить квадратный корень к обеим частям неравенства:
√(XD²) ≥ √(BC² - BD²).
Это равносильно XD ≥ √(BC² - BD²).
Теперь, нам нужно доказать, что √(BC² - BD²) > AC.
Для начала, применим тот факт, что √(a - b) ≥ √(a) - √(b) для неотрицательных a и b.
Тогда, по этому факту, мы можем утверждать, что √(BC² - BD²) ≥ √(BC²) - √(BD²).
Так как BC > BD, то √(BC²) > √(BD²).
Тогда, мы можем записать, что √(BC²) - √(BD²) > √(BD²) - √(BD²).
Очевидно, что √(BD²) - √(BD²) равно нулю.
Таким образом, мы получаем, что √(BC² - BD²) > 0.
Теперь мы можем записать неравенство: XD ≥ √(BC² - BD²) > 0.
Так как √(BC² - BD²) > 0, то мы можем допустить, что XD > 0.
Следовательно, мы доказали неравенство XD > AC, т.е. длина отрезка, соединяющего точку на катете с противоположной вершиной прямоугольного треугольника, больше его гипотенузы.