Ть будь ласка. навколо конуса описано трикутну піраміду, площа основи якої дорівнює 420√3, а периметр основи – 140. визначте об’єм цього конуса, якщо довжина його твірної дорівнює 12.
Дана правильная треугольная пирамида SABC, её высота H = SO = 24, апофема A = SD = 25. Hайти расстояние CK от C до плоскости SAB.
Найдём проекцию OD апофемы А на основание АВС. OD = √(A² - H²) = √(25² - 24²) = √(625 - 576) = √49 = 7. Рассмотрим осевое сечение пирамиды через ребро CS и апофему SD. Высота СК на апофему и является искомым расстоянием от С до плоскости SAB. CD - высота основания, она равна трём отрезкам OD: CD = 3*7 = 21. Треугольники SOD и CKD подобны по двум углам (один прямой, второй взаимно перпендикулярный).CK/CD = SO/SD. CK = SO*CD/SD = 24*21/25 = 504/25 = 20,16.
Основание конуса - это вписанная окружность в основание пирамиды, то есть в треугольник.
Для определения радиуса вписанной окружности используем формулу:
r = S/p = 420√3/70 = 6√3. (р - это полупериметр).
Высота конуса Н = √(12² - r²) = √(144 - 108) = √36 = 6.
Получаем ответ: V = (1/3)SoH = (1/3)πr²H= (1/3)π*36*6 = 72π куб.ед.