Задание 1. Доказать, что диагонали делят параллелограмм на 4 равновеликих треугольника. Доказательство. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Пусть половина первой диагонали = а, а половина второй диагонали = b. Значит площадь каждого из получившихся треугольников равна (1/2)a*b*Sinα - формула, где α - угол между диагоналями. Углы, образованные при пересечении диагоналей - смежные и равны α и 180-α. Поскольку Sin(180-α) = Sinα (формула), то площади всех 4 треугольников равны. Что и требовалось доказать. Задание 2. Найти площадь равнобокой трапеции с основаниями 15 см и 39 см, в которой диагональ перпендикулярна к боковой стороне. Решение. Поскольку высота из тупого угла равнобедренной трапеции делит основание на отрезки, меньший из которых равен полуразности оснований = 12см (свойство), а высота нашей трапеции - высота прямоугольного треугольника из прямого угла, то эта высота по ее свойствам равна h=√((39-12)*12)=18см. Тогда площадь трапеции равна по формуле S=(AD+BC)*h/2 : S=(39+15)*18/2=486см². Задание 3. Соответствующие стороны двух подобных треугольников относятся как 2 : 3. Площадь второго треугольника равна 81 см2. Найдите площадь первого треугольника. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия. Значит S1=(2/3)²*S2. S1=(4/9)*81=36см². Задание 4. Основания трапеции относятся как 2:3, а ее площадь равна 50 см2. Найти площади: а) двух треугольников, на которые данная трапеция делится диагональю б) четырех треугольников, на которые данная трапеция делится диагоналями. Решение. Диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника, из которых два, прилежащих к основаниям, подобны, а два прилежащих к боковым сторонам, равновелики (равны по площади). а). Sabcd=(2x+3x)*h/2 =50см² (площадь трапеции дана). => 5xh=100см² и xh=20см². Sabd=Sacd=(1/2)*3xh = 30см². Sabo=Scod= Sabcd-Sabd= 50-30=20см². ответ: 30см² и 20см². б) Sboc=(1/2)*2x*(2/5)h=0,4*xh =0,4*20=8см². Saod=(1/2)*3x*(3/5)h=0,9*xh =0,9*20=18см². Saob=Saod=Sabd-Scod=(1/2)*3xh - 0,9*xh = 06xh =12см². ответ: Sboc=8см²,Saod=18см², Saob=Saod=12см².
Для упрощения записей примем, что куб АВСDА1В1С1D1 - единичный, то есть его сторона равна 1. Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек или другими словами это две прямые в пространстве, не имеющие общих точек, и не являющиеся параллельными. Значит MN и A1C - скрещивающиеся прямые. Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между любыми двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся. Проведем прямую СР параллельно прямой MN. Угол А1СР - искомый угол. NA=√(АВ²+ВN²)=√(1+1/4)=√5/2 (по Пифагору). NM=√(NA²+AM²)=√(5/4+9/16)=√29/4 (по Пифагору). CP=NM=√29/4. CA1=√(2+1)=√3 (диагональ куба). А1Р=√(MA1²+MP²)=√(1/16+1/4)=√5/4. По теореме косинусов: Cosα=(CA1²+CP²-A1P²)/(2CA1*CP) или Cosα=(3+29/16-5/16)/(2√3*√29/4)=(72/16)/(√87\2)=9/√87. ответ: Cosα=9/√87.
Второй вариант решения - координатный метод. Пусть куб единичный, то есть сторона его "а"=1. Начало координат в точке С(0;0;0). Точка N(0;1/2;0), точка М(1;1;3/4), точка А1(1;1;1). Тогда вектор MN{-1;-1/2;-3/4}, его модуль |MN|=√(1+1/4+9/16)=√29/4. Вектор А1С{-1;-1;-1}, |A1C|=√(1+1+1)=√3. Cosα=(MN*A1C)/(|MN|*|A1C|) или Cosα=(1+1/2+3/4)/(√87/4)=9/√87. ответ: Cosα=9/√87.
Доказать, что диагонали делят параллелограмм на 4 равновеликих треугольника.
Доказательство.
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Пусть половина первой диагонали = а, а половина второй диагонали = b.
Значит площадь каждого из получившихся треугольников равна
(1/2)a*b*Sinα - формула, где α - угол между диагоналями.
Углы, образованные при пересечении диагоналей - смежные и равны
α и 180-α.
Поскольку Sin(180-α) = Sinα (формула), то площади всех 4 треугольников равны.
Что и требовалось доказать.
Задание 2.
Найти площадь равнобокой трапеции с основаниями 15 см и 39 см, в которой диагональ перпендикулярна к боковой стороне.
Решение.
Поскольку высота из тупого угла равнобедренной трапеции делит основание на отрезки, меньший из которых равен полуразности оснований = 12см (свойство), а высота нашей трапеции - высота прямоугольного треугольника из прямого угла, то эта высота по ее свойствам равна
h=√((39-12)*12)=18см. Тогда площадь трапеции равна по формуле
S=(AD+BC)*h/2 :
S=(39+15)*18/2=486см².
Задание 3.
Соответствующие стороны двух подобных треугольников относятся как 2 : 3. Площадь второго треугольника равна 81 см2. Найдите площадь первого треугольника.
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия. Значит S1=(2/3)²*S2.
S1=(4/9)*81=36см².
Задание 4.
Основания трапеции относятся как 2:3, а ее площадь равна 50 см2. Найти площади:
а) двух треугольников, на которые данная трапеция делится диагональю
б) четырех треугольников, на которые данная трапеция делится диагоналями.
Решение.
Диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника, из которых два, прилежащих к основаниям, подобны, а два прилежащих к боковым сторонам, равновелики (равны по площади).
а). Sabcd=(2x+3x)*h/2 =50см² (площадь трапеции дана). =>
5xh=100см² и xh=20см².
Sabd=Sacd=(1/2)*3xh = 30см².
Sabo=Scod= Sabcd-Sabd= 50-30=20см².
ответ: 30см² и 20см².
б) Sboc=(1/2)*2x*(2/5)h=0,4*xh =0,4*20=8см².
Saod=(1/2)*3x*(3/5)h=0,9*xh =0,9*20=18см².
Saob=Saod=Sabd-Scod=(1/2)*3xh - 0,9*xh = 06xh =12см².
ответ: Sboc=8см²,Saod=18см², Saob=Saod=12см².