Поскольку прямая, проходящая через вершину угла, образует с его сторонами равные углы, значит проекция этой прямой на плоскость угла является его биссектрисой. Возьмем на прямой точку Р и опустим из нее перпендикуляры РО на плоскость угла и РН на сторону этого угла. По теореме о трех перпендикулярах, отрезок ОН будет перпендикулярен стороне АН. Тогда в треугольнике АОН катеты АН и ОН равны (так как АО - биссектриса). Пусть они равны "а". Тогда АО= а√2. В прямоугольном треугольнике АРН угол РАН=60° (дано), тогда <APH=30° (сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°). Значит АР =2а (так как катет АН лежит против угла 30°). Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. То есть нам надо найти градусную меру угла РАО. Косинус угла РАО=АО/АР или Cos(PAO)=a√2/2a=√2/2. Следовательно, искомый угол равен arccos(√2/2) или 45°. ответ: 45°.
1) Пусть ABCD - прямоугольная трапеция, в которую вписана окружность. CF=4 см и FD=25 см. 2) Площадь трапеции можно найти по формуле: S=(AD+BC)*AB/2, где AD и BC - основания трапеции, AB - высота трапеции. 3) Можно использовать следующее свойство для прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность: Если точка касания делит боковую сторону на отрезки m и n, то радиус вписанной окружности равен r=√(mn). Находим радиус вписанной окружности: r=√(4*25)=√100=10 (см). Значит, высота АВ=2r=2*10=20 (см). 4) Так как центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции, то KC=CF=4 см, FD=DE=25 см. 5) AMOE=MBKO - квадраты со стороной, равной радиусу вписанной окружности, т.е. AE=BK=10 см. Таким образом, получаем, AD=10+25=35 (см), BC=10+4=14 (см). 6) Находим площадь трапеции: S=(AD+BC)*AB/2=(35+14)*20/2=49*10=490 (cм²).
Еще площадь прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность можно найти по отдельной формуле: S=AD*BC (произведение оснований). S=35*14=490 (см²). ответ: 490 см².
Возьмем на прямой точку Р и опустим из нее перпендикуляры РО на плоскость угла и РН на сторону этого угла. По теореме о трех перпендикулярах, отрезок ОН будет перпендикулярен стороне АН. Тогда в треугольнике АОН катеты АН и ОН равны (так как АО - биссектриса). Пусть они равны "а".
Тогда АО= а√2.
В прямоугольном треугольнике АРН угол РАН=60° (дано), тогда <APH=30° (сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°).
Значит АР =2а (так как катет АН лежит против угла 30°).
Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.
То есть нам надо найти градусную меру угла РАО.
Косинус угла РАО=АО/АР или Cos(PAO)=a√2/2a=√2/2.
Следовательно, искомый угол равен arccos(√2/2) или 45°.
ответ: 45°.