Дана прямоугольная трапеция АВСД, диагонали которой пересекаются в точке K.Расстояния от точки К до боковых сторон равны 4 и 5. Найти площадь трапеции и радиус вписанной окружности.
Так как трапеция прямоугольная, то сразу из задания находим ответ на вопрос: радиус вписанной окружности равен расстоянию от точки К до вертикальной боковой стороны АВ и равен 5. Тогда АВ = 2*5 = 10. Это также и высота Н трапеции. На основе свойства любой трапеции: треугольники, лежащие на боковых сторонах, равновеликие, находим наклонную боковую сторону. S(АВК) = S(СКД). Отсюда СД = 10*5/4 = 12,5. На основе свойства описанной трапеции: сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон, находим среднюю линию L трапеции. L = (10 + 12,5)/2 = 22,5/2 = 11,25. Получаем ответ: S = HL = 10*11.25 = 112.5 кв.ед.
Совершенно не важна величина угла боковой грани к основанию, важно то, что для все трёх боковых сторон этот угол одинаков. От точек касания вписанной окружности сторон треугольника к вершине пирамиды построим апофемы. Поскольку для каждой из боковых граней угол между апофемой и плоскостью основания один и тот же, поскольку у всех трёх апофем общая вершина и, следовательно, одинаковая проекция апофемы на плоскость основания - то расстояние от сторон треугольника до проекции вершины пирамиды на плоскость основания одно и то же и И тогда вершина пирамиды лежит над центром вписанной в основание окружности. И тогда треугольник в основании - равнобедренный. и тогда его стороны равны a√2, a√2, a
Так как трапеция прямоугольная, то сразу из задания находим ответ на вопрос: радиус вписанной окружности равен расстоянию от точки К до вертикальной боковой стороны АВ и равен 5.
Тогда АВ = 2*5 = 10. Это также и высота Н трапеции.
На основе свойства любой трапеции: треугольники, лежащие на боковых сторонах, равновеликие, находим наклонную боковую сторону.
S(АВК) = S(СКД).
Отсюда СД = 10*5/4 = 12,5.
На основе свойства описанной трапеции: сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон, находим среднюю линию L трапеции.
L = (10 + 12,5)/2 = 22,5/2 = 11,25.
Получаем ответ:
S = HL = 10*11.25 = 112.5 кв.ед.