Для доказательства равенства площадей закрашенных фигур в данной трапеции, нам понадобится использовать свойства параллелограмма.
Для начала, обозначим точки на рисунке. Пусть точки A, B, C и D - вершины трапеции, M, N, P и Q - середины соответственных сторон трапеции. Обозначим площади закрашенных фигур как S1 и S2.
Для доказательства равенства площадей S1 и S2, мы разделим каждую площадь на две равные фигуры, используя диагонали параллелограмма.
Первый шаг: Разделим площадь S1 на две равные фигуры, обозначим их как S1A и S1B. Для этого проведем диагональ AM.
Два треугольника AMB и AMC имеют общую сторону AM и одинаковую высоту, так как трапеция ABCD является параллелограммом. Поэтому площади этих треугольников равны. Обозначим эту площадь как S(AMB) = S(AMC) = S1A.
Второй шаг: Разделим площадь S2 на две равные фигуры, обозначим их как S2C и S2D. Для этого проведем диагональ CP.
Два треугольника CDP и CPQ имеют общую сторону CP и одинаковую высоту, так как трапеция ABCD является параллелограммом. Поэтому площади этих треугольников равны. Обозначим эту площадь как S(CDP) = S(CPQ) = S2C.
Теперь мы можем выразить площади закрашенных фигур S1 и S2 через площади треугольников.
Для начала, обозначим точки на рисунке. Пусть точки A, B, C и D - вершины трапеции, M, N, P и Q - середины соответственных сторон трапеции. Обозначим площади закрашенных фигур как S1 и S2.
Для доказательства равенства площадей S1 и S2, мы разделим каждую площадь на две равные фигуры, используя диагонали параллелограмма.
Первый шаг: Разделим площадь S1 на две равные фигуры, обозначим их как S1A и S1B. Для этого проведем диагональ AM.
Два треугольника AMB и AMC имеют общую сторону AM и одинаковую высоту, так как трапеция ABCD является параллелограммом. Поэтому площади этих треугольников равны. Обозначим эту площадь как S(AMB) = S(AMC) = S1A.
Второй шаг: Разделим площадь S2 на две равные фигуры, обозначим их как S2C и S2D. Для этого проведем диагональ CP.
Два треугольника CDP и CPQ имеют общую сторону CP и одинаковую высоту, так как трапеция ABCD является параллелограммом. Поэтому площади этих треугольников равны. Обозначим эту площадь как S(CDP) = S(CPQ) = S2C.
Теперь мы можем выразить площади закрашенных фигур S1 и S2 через площади треугольников.
S1 = S(AMB) + S(AMC) = S1A + S1A
S2 = S(CDP) + S(CPQ) = S2C + S2C
Заметим, что S1A = S2C, так как AM и CP являются серединными перпендикулярами к сторонам трапеции AB и CD соответственно.
Таким образом, мы получаем:
S1 = S1A + S1A = 2 * S1A
S2 = S2C + S2C = 2 * S2C
Так как S1A = S2C, то S1 = S2.
Таким образом, мы доказали, что площади закрашенных фигур S1 и S2 равны.