Question

Вне равностороннего треугольника abc взята точка e так что угол bec равен 120 докажите что be+ec ae. Подробное решение и рисунок, неверные решения будут удалены.

Answer 1

Давайте разберем эту задачу пошагово:

Шаг 1: Установим дополнительные обозначения на рисунке. Пусть точка O - это точка пересечения медиан треугольника ABC. Также обозначим длины отрезков BE, EC и AE как x, y и z соответственно.

нам нужно доказать, что BE + EC > AE.

Шаг 2: Обратимся к свойству медиан треугольника. Медиана, проходящая через вершину треугольника, делит противоположную сторону на две равные части. Это означает, что OD = DC, OE = EC и OF = FA.

Шаг 3: Теперь обратимся к углу BEC. У нас есть информация, что этот угол равен 120 градусам.

Шаг 4: Если мы применим теорему косинусов в треугольнике BEC, мы можем выразить косинус угла BEC через длины сторон треугольника BEC:

cos(120) = (x^2 + y^2 - z^2)/(2xy)

Шаг 5: Теперь мы можем выразить длину отрезка AE через длины сторон треугольников AOE и AOF, используя свойство медиан:

AE = 2OF = 2(EC + OD) = 2(y + x)

Шаг 6: Теперь давайте выразим длины сторон BE и EC через длину стороны AE, используя теорему косинусов в треугольнике ABE и AEC:

BE^2 = AE^2 + AB^2 - 2AE*AB*cos(BAE)
EC^2 = AE^2 + AC^2 - 2AE*AC*cos(EAC)

Шаг 7: Подставим значения AE, AB и AC в эти формулы:

BE^2 = (2(y + x))^2 + AB^2 - 2*(2(y + x))*AB*cos(BAE)
EC^2 = (2(y + x))^2 + AC^2 - 2*(2(y + x))*AC*cos(EAC)

Шаг 8: Заметим, что AB = AC, потому что треугольник ABC является равносторонним. Значит, AB = AC = BC.

Шаг 9: Подставим значения AB и AC в формулы для BE и EC:

BE^2 = (2(y + x))^2 + BC^2 - 2*(2(y + x))*BC*cos(BAE)
EC^2 = (2(y + x))^2 + BC^2 - 2*(2(y + x))*BC*cos(EAC)

Шаг 10: Теперь просуммируем выражения для BE^2 и EC^2:

BE^2 + EC^2 = (2(y + x))^2 + BC^2 - 2*(2(y + x))*BC*cos(BAE) + (2(y + x))^2 + BC^2 - 2*(2(y + x))*BC*cos(EAC)

Шаг 11: Упростим это выражение:

BE^2 + EC^2 = 4(y^2 + 2yx + x^2) + BC^2 - 4(y^2 + 2yx + x^2)*cos(BAE) + BC^2 - 4(y^2 + 2yx + x^2)*cos(EAC)

= 4(y^2 + 2yx + x^2) + BC^2 - 4(y^2 + 2yx + x^2)(cos(BAE) + cos(EAC))

= 4(y^2 + 2yx + x^2) + BC^2 - 4(y^2 + 2yx + x^2)(cos(BAE) + cos(180 - (BAE + EAC)))

= 4(y^2 + 2yx + x^2) + BC^2 - 4(y^2 + 2yx + x^2)(cos(BAE) - cos(BAE + EAC))

= 4(y^2 + 2yx + x^2) + BC^2 - 4(y^2 + 2yx + x^2)(-2sin((BAE + EAC)/2)*sin((BAE - EAC)/2))

Шаг 12: Заметим, что угол BAE + EAC равен 180 градусам, поскольку они вместе составляют плоский угол.

Шаг 13: Также заметим, что угол EAC = EOC и угол BAE = BOE, и они являются смежными углами.

Шаг 14: Таким образом, мы можем переписать это выражение:

BE^2 + EC^2 = 4(y^2 + 2yx + x^2) + BC^2 - 4(y^2 + 2yx + x^2)(-2sin(EOC)*sin(BOE))

Шаг 15: Заметим, что sin(EOC) = sin(BOE) = sin(60) = sqrt(3)/2.

Шаг 16: Подставим это значение в предыдущее выражение:

BE^2 + EC^2 = 4(y^2 + 2yx + x^2) + BC^2 - 4(y^2 + 2yx + x^2)(-2sqrt(3)/2*-sqrt(3)/2)

= 4(y^2 + 2yx + x^2) + BC^2 - 4(y^2 + 2yx + x^2)*(3/2)

= 4(y^2 + 2yx + x^2) + BC^2 - 2(y^2 + 2yx + x^2)

= 2(y^2 + 2yx + x^2) + BC^2

= (y^2 + 2yx + x^2) + (y^2 + 2yx + x^2) + BC^2

= (y + x)^2 + (y + x)^2 + BC^2

= 2(y + x)^2 + BC^2

Шаг 17: Теперь заметим, что BC^2 > 0, поскольку это квадрат длины стороны треугольника.

Шаг 18: Следовательно, мы можем заключить, что BE^2 + EC^2 > 2(y + x)^2 + BC^2.

Шаг 19: Однако, мы также знаем, что векторный сумма двух длин сторон треугольника больше, чем третья сторона треугольника. Это известно как неравенство треугольника.

Шаг 20: Поскольку BE + EC является векторной суммой BE и EC, мы можем использовать неравенство треугольника: BE + EC > BC.

Шаг 21: Мы можем заключить, что BE + EC > 2(y + x) + BC^2, что эквивалентно BE^2 + EC^2 > 2(y + x)^2 + BC^2.

Шаг 22: Мы уже доказали в Шаге 18, что BE^2 + EC^2 > 2(y + x)^2 + BC^2.

Шаг 23: Таким образом, мы можем сделать вывод, что BE + EC > AE.

Это полное доказательство.