Объяснение:
456 . В задачі Можливі два випадки :
1) Зовнішній кут ∠BCD = 118° лежить при основі рівнобедреного
ΔАВС : АВ = ВС . Тоді ∠А = ∠С = 180° - 118° = 62° ;
∠В = 180° - 2* ∠А = 180° - 2* 62° = 56° .
2) Зовнішній кут ∠DBC = 118° лежить при основі рівнобедреного ΔАВС : АВ = ВС . Тоді ∠АВС = 180° - 118° = 62° ;
∠А = ∠С = ( 180° - ∠АВС ) : 2 = ( 180° - 62° ) : 2 = 59° .
В - дь : задача має два розв"язки :
1) 62° , 62° , 56° ; 2) 62° , 59° , 59° .
460 . Нехай в ΔАВС ∠А : ∠В : ∠С = 7 : 8 : 9 і їх градусні міри
становлять ∠А = 7х° , ∠В = 8х° , ∠С = 9х° . Позначимо відповідні
їм зовнішні кути α , β , γ . За власт. зовнішніх кутів тр - ника
α = 8x° + 9x° = 17x° ; β = 7x° + 9x° = 16x° ; γ = 7x° + 8x° = 15x° .
Тому відношення α : β : γ = ( 17x ) : ( 16x ) : ( 15x ) = 17 : 16 : 15 .
В - дь : 17 : 16 : 15 .
Найдем величины отрезков АМ, MN и ND.
Их сумма равна 16,5, а отношение 1:17:15, то есть х+17х+15х=33х=16,5.
Отсюда х=0,5. Тогда АМ=0,5 MN=8,5 ND=7,5.
Опустим перпендикуляр РН из точки Р на сторону АD.
Это высота треугольника МNР.
Тогда из подобия треугольников ALN и НРN (РН параллельна АВ) имеем:
РН/AL=HN/AN. или НN=AN*PH/AN или HN=9*РН/5 (1).
Из подобия треугольников CMD и PMН (РН параллельна CD) имеем:
РН/CD=MH/MD. или MН=MD*PH/CD или MH=16*РН/10 или MH=1,6*РН (2).
MH+HN=8,5 или МН=8,5-HN (3).
Приравниваем (2) и (3):
1,6*РН=8,5-HN или HN=8,5-1,6*PH (4).
а теперь приравняем (1) и (4):
9*РН/5=8,5-1,6*PH или
9*РН=42,5-8РН или 17РН=42,5. Отсюда РН=2,5.
Итак, высота треугольника MNР равна 2,5, а его основание равно 8,5.
Следовательно, площадь треугольника MNР равна Smnр=(1/2)*8,5*2,5=10,625.
ответ: площадь треугольника MNР равна 10,625 ед².
Решение координатным методом:
Пусть начало координат в точке А(0;0).
Величины отрезков АМ=0,5 MN=8,5 ND=7,5.
Тогда координаты точек M(0,5;0) и N(9;0).
Имеем точки:
L(0;5), M(0,5;0), N(9;0) и C(16,5;10).
Напишем уравнения прямых, проходящик через две точки по формулам:
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1).
Точки C(16,5;10) и M(0,5;0) .
Прямая СМ: (х-0,5)/16=(y-0)/10 или 10x-16y=5. (1)
Точки L(0;5) и N(9;0) .
Прямая LN: (х-0)/9=(y-5)/-5 или 5x+9y=45. (2)
Координаты точки пересечения Р(х;y) найдем, решив систему двух уравнений (1) и
(2).
10x-16y=5 (1)
5x+9y=45 (2) или
10x-16y=5 (1)
10x+18y=90 (2). Вычтем из второго первое: 34y=85.
y=2,5 тогда х=4,5.
Итак, имеем точку Р(4,5;2,5)
Координата y этой точки - это высота треугольника MNР.
Зная основание MN = 8,5 этого треугольника, находим его площадь:
Smnp=(1/2)*8,5*2,5=10,625 ед².