AB*CD = AC*BD = AD*BC. Или, сгруппировав их по другому, имеем:
Для треугольников АВС и DBC с общей стороной ВС:
AB/AC=BD/DC. (1)
Для треугольников АВС и ABD с общей стороной АВ:
AC/BC=AD/BD. (2)
Для треугольников АВС и ADC с общей стороной АС:
AB/BC=AD/DC. (3)
Эти отношения равны между собой (дано).
Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис его внутренних углов, а биссектрисы делят противоположные стороны в отношении прилегающих сторон (свойство).
Причем это свойство имеет обратную силу, то есть, если прямая, проведенная из вершины угла треугольника делит противоположную сторону в отношении прилегающих сторон, то эта прямая - биссектриса
угла.
Если провести в наших треугольниках биссектрисы к общим сторонам, то
они пересекутся в точках, лежащих на этих сторонах в силу соотношений
(1), (2) и (3):
AID и DIA - в точке Н, например, а CID и DIC - в точке К. То же самое
и с другими биссектрисами.
Следовательно, точки А,Н и D лежат в одной плоскости АНD и прямые AIA и DID пересекаются.
Точно так же в плоскости АСN лежат прямые AIA и CIC, которые пересекаются.
Прямые DID и CIC лежат в плоскости DCK, и также пересекаются.
Итак, прямые AIA и DID имеют общую точку.
А прямая CIC также имеет общую точку и с прямой AIA и с прямой DID,
но лежит в другой плоскости, следовательно эта точка должна быть одной и той же общей точкой.
То же и с пересекающимися прямыми DID и ВIВ, которые лежат в
плоскости BMD.
Имеем четыре пары пересекающихся прямых (AIA и DID, AIA и CIC,
DID и CIC, DID и ВIВ), лежащих в четырех разных плоскостях (АНD,АСN,DCK и BMD соответственно).
Эти выводы справедливы для любых пар данных нам отрезков:
Если три или более прямых,лежащих в разных плоскостях, попарно
пересекаются, то они имеют одну общую точку.
Следовательно, данные нам отрезки пересекаются в одной точке.
Окружности радиусов 36 и 45 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD. Искомое расстояние - длина перпендикуляра ВН, опущенного из В на СD. AB и CD - хорды, перпендикулярны прямой ОО1, содержащей диаметры окружностей. AB||CD Пусть центр меньшей окружности - О, большей - О₁. Проведем радиусы r и R в точки касания. Проведем к О₁D отрезок ОК||BD. Т.к. r ||R, и оба перпендикулярны ВD, то ОКВD- прямоугольник. ОK=BD О₁К=R-r=45-36=9 OO₁=R+r=45+36=81 Из ∆ OКО₁ по т.Пифагора OК=√(81²-9²)=√6480=36√5 ∠HBD=∠KOO₁- заключены между взаимно параллельными сторонами. ∆ OKO₁ ~ ∆ BHD cos∠KOO₁=OK/OO₁ cos∠HBD=cos∠KOO₁=(36√5):9=(4√5):9 BH=BD•cos∠HBD=(36√5)•(4√5):9=80 (ед. длины)
Нам даны соотношения сторон тетраэдра:
AB*CD = AC*BD = AD*BC. Или, сгруппировав их по другому, имеем:
Для треугольников АВС и DBC с общей стороной ВС:
AB/AC=BD/DC. (1)
Для треугольников АВС и ABD с общей стороной АВ:
AC/BC=AD/BD. (2)
Для треугольников АВС и ADC с общей стороной АС:
AB/BC=AD/DC. (3)
Эти отношения равны между собой (дано).
Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис его внутренних углов, а биссектрисы делят противоположные стороны в отношении прилегающих сторон (свойство).
Причем это свойство имеет обратную силу, то есть, если прямая, проведенная из вершины угла треугольника делит противоположную сторону в отношении прилегающих сторон, то эта прямая - биссектриса
угла.
Если провести в наших треугольниках биссектрисы к общим сторонам, то
они пересекутся в точках, лежащих на этих сторонах в силу соотношений
(1), (2) и (3):
AID и DIA - в точке Н, например, а CID и DIC - в точке К. То же самое
и с другими биссектрисами.
Следовательно, точки А,Н и D лежат в одной плоскости АНD и прямые AIA и DID пересекаются.
Точно так же в плоскости АСN лежат прямые AIA и CIC, которые пересекаются.
Прямые DID и CIC лежат в плоскости DCK, и также пересекаются.
Итак, прямые AIA и DID имеют общую точку.
А прямая CIC также имеет общую точку и с прямой AIA и с прямой DID,
но лежит в другой плоскости, следовательно эта точка должна быть одной и той же общей точкой.
То же и с пересекающимися прямыми DID и ВIВ, которые лежат в
плоскости BMD.
Имеем четыре пары пересекающихся прямых (AIA и DID, AIA и CIC,
DID и CIC, DID и ВIВ), лежащих в четырех разных плоскостях (АНD,АСN,DCK и BMD соответственно).
Эти выводы справедливы для любых пар данных нам отрезков:
Если три или более прямых,лежащих в разных плоскостях, попарно
пересекаются, то они имеют одну общую точку.
Следовательно, данные нам отрезки пересекаются в одной точке.
Что и требовалось доказать.