Начертите прямоугольный треугольник и опишите вокруг него окружность. Любой прямоугольный треугольник опирается на диаметр описанной окружности, т.е. его гипотенуза = диаметру окружности. Следовательно, медиана, которая делит гипотенузу пополам, будет падать на середину диаметра - т.е. центр окружности. Половины диаметра - это радиусы окружности. Т.к. вершина прямого угла треугольника лежит на окружности, а медиана падает в её центр, значит медиана - это радиус окружности. Радиус одинаков по всей окружности. А если медиана - это радиус, и половины гипотенузы - тоже радиусы, делаем вывод, что медиана равна половине гипотенузы. Т.е. гипотенуза в целом будет равна 2-м медианам: 8+8=16.
Медианы ЕN и FM треугольника EFK, длины которых 12 и 18, пересекаются под прямым углом. Найдите площадь Треугольника EFK.
Объяснение:
1) Рассмотрим выпуклый четырёхугольник EFNM у которого диагонали , по условию, взаимно- перпендикулярны .
Его площадь можно найти по формуле S = 1/2*d₁*d₂* sin (∠d₁d₂).
S(EFNM) = 1/2*12*18* sin 90°=108 ( ед²).
2) S(EFK)=S(EFNM)+S(MNK)
3) MN-средняя линия , тк M,N-середины сторон по определению медианы . По т. о средней линии треугольника MN║EF .
ΔEFK ∼ΔMNK по 2-м углам : ∠К -общий ,∠FEK=∠NMK как соответственные при MN║EF ,секущей ЕК ⇒ сходственные стороны
пропорциональны
, k=
. По т об отношении площадей
подобных треугольников
или 
,
4*S( MNK)=S(MNK)+S(EFNM) ,
3(MNK)=108 , S(MNK)=36 ед².
4) S(EFK)=S(EFNM)+S(MNK) =108+36=144 ( ед²).