Question

Около окружности описана равнобедренная трапеция. а) докажите, что ее диагональ проходит через середину отрезка, концы которого – точки касания окружности с боковыми сторонами трапеции. б) найдите отношение оснований трапеции, если известно, что площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет 3/8 площади трапеции.

Answer 1

 Положим что это верно , то есть $AC$ делить $\frac{MN}{2} \\$  $M \in AB\\ N \in CD$,   $M;N$  точки касания ,   тогда и вторая диагональ  $BD$ делить $\frac{MN}{2}$  из-за того что трапеция равнобедренная . 
   Продлим $AB;CD$ за точки $B,C$  , тогда и замечательного свойства трапеций , того что отрезок соединяющий диагонали и основания , проведенный из вершины проходит через одну точку , но так как трапеция равнобедренная , получим  что прямая проведенная с вершины треугольника  , будет делить $BC;AD$  на $2$ , но так как  $MN || BC || AD$  , то и $MN$ и точки пересечения диагоналей и $MN$ будут пересекаться в одной точке ,а значит  изначальное условие было верно . 
   
Так как трапеция , равнобедренная , диагонали делят на треугольники ,  два из которых подобны ,  если большее основание и меньшее      равны            $a,b$ тогда $\frac{h_{1}}{h_{2}} = \frac{b}{a}$   $h_{1} ; h_{2}$  высоты треугольников образованных отрезками диагоналей и основаниями .  Получим 
  $\frac{(a+b)*(b* \frac{h_{2}}{a}+h2) - (bh_{2}+ah_{2})}{2} = \frac{3*(a+b)*(b* \frac{h_{2}}{a}+h_{2})}{16} \\ 16ab=3(a+b)^2 \\ 3a^2-10ab+3b^2 = 0 \\ (a-3b)(b-3a) = 0 \\ a=3b$
  То есть основания относятся как $\frac{a}{b}=3$