Обозначим биссектрису СК. Одно из свойств биссектрисы: отношение отрезков, на которые биссектриса делит сторону, противоположную углу, из которого проведена, равно отношению сторон, содержащих этот угол.
АК:ВК=АС:ВС
Пусть коэффициент этого отношения а.
Тогда АК=8а, ВК=6а
Отношение ВС:АС =3:4 - отношение катетов египетского треугольника, поэтому гипотенуза АВ=10 см
АВ по т.Пифагора АВ также найдем равной 10 см.
а=АВ:(8+6)=5/7 Отсюда
АК=8•4/7=40/7
sin A=BC:AB=6:10=0,6
По т.синусов
СК/sin∠CAK=AK/sin∠ACK
CK:0,6=40/7):√2/2
CK=48:7√2=24√2):7= ≈4,849 см
-------------
Примечание: для биссектрисы треугольника есть формула. В частности, для прямоугольного треугольника нахождение биссектрисы через катеты она дана в приложении с рисунком.
Медианы равнобедренного треугольника пересекаются в одной точке О (центре тяжести треугольника), которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от угла, из которого они исходят ⇒
BO=CO= b* 2/3 = 2b/3
DO=EO=b * 1/3 = b/3
Строим треугольник. Чертим отрезок AB, равный а см. Находим середину этого отрезка и отмечаем точку Е. Раствором циркуля, равным EO, чертим дугу окружности с центром в точке Е. Раствором циркуля, равным ВО, чертим дугу окружности с центром в точке В. Дуги пересекутся в точке О, которая является центром тяжести данного треугольника. Из точки Е через точку О чертим отрезок CE, равный известной медиане (b). Соединяем точки A, B, C. Получаем искомый треугольник