В треугольнике ABC угол C равен 90°. Угол между биссектрисой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 8°. Вычисли меньший угол треугольника ABC. ответ дай в градусах.
Для решения этой задачи нам понадобятся знания о свойствах биссектрис и медиан треугольника.
1. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на две отрезка, пропорциональных смежным сторонам треугольника. То есть, отношение длин сегментов биссектрицы и смежных сторон равно.
2. Медиана треугольника делит противоположную сторону пополам.
Воспользуемся этими свойствами для решения задачи.
Обозначим точки, где биссектриса и медиана пересекаются с противоположной стороной, как D и E соответственно.
По свойству биссектрисы, отношение длины отрезка AD к длине отрезка DC равно отношению длины стороны AB к длине стороны BC:
AD/DC = AB/BC
По свойству медианы, отрезок DE делит сторону AC пополам:
AE = EC
Мы знаем, что угол между биссектрисой AD и медианой DE равен 8°. Обозначим этот угол как x.
Поскольку угол ADE равен углу ADC, а угол DEC равен 90° (перпендикулярность медианы и прямого угла), то угол EDC равен 180° - x.
Таким образом, мы можем записать следующие уравнения:
1) AD/DC = AB/BC
2) AE = EC
3) x + (180° - x) + 90° = 180°
Теперь давайте решим систему уравнений последовательно:
1) Мы знаем, что AD/DC = AB/BC. Поэтому мы можем записать AB/BC = AD/DC.
Заменим AB на AE + EB и BC на EC + CE, где EB и CE - это продолжения линий AD и CD соответственно.
Теперь у нас имеется уравнение: (AE + EB)/(EC + CE) = AD/DC.
2)Мы знаем, что AE = EC. Поэтому мы можем заменить AE на EC и получим: (EC + EB)/(EC + CE) = AD/DC.
3) Теперь мы можем упростить уравнение, при этом мы знаем, что EC+CE это просто AC:
(EC + EB)/AC = AD/DC.
Мы знаем, что угол EDC равен 180° - x. Если мы подставим это соотношение, получим:
(EC + EB)/AC = AD/DC = sin(180° - x).
Теперь давайте рассмотрим третье уравнение:
x + (180° - x) + 90° = 180°.
Решим это уравнение:
x + 90° = 180°.
x = 180° - 90°.
x = 90°.
Окончательно, мы получили угол x равным 90°.
Теперь вернемся к первому уравнению (EC + EB)/AC = AD/DC = sin(180° - x).
Подставим значение угла x:
(EC + EB)/AC = AD/DC = sin(180° - 90°).
(EC + EB)/AC = AD/DC = sin(90°).
(EC + EB)/AC = AD/DC = 1.
Так как sin(90°) = 1, мы можем записать:
(EC + EB)/AC = AD/DC = 1.
Мы также знаем, что AE = EC, следовательно, AE/AC = 1.
Умножим обе части уравнения на AC:
AE = AC.
Таким образом, мы получили, что в треугольнике АСE угол E равен 90°, то есть это прямой угол.
Итак, меньший угол треугольника ABC равен углу E. Ответ: меньший угол ABC равен 90°.
