Question

Основание параллелепипеда — прямоугольник. Точки K, L и M — середины векторов AA1, B1C1 и CC1 соответственно. Двугранный угол при ребре AB равен 60°. AB= 9, BC= 12. CL является высотой грани BB1C1C. Грань BB1C1C перпендикулярна основанию параллелепипеда.
Найди:
1. Длину вектора B1C−→−−

2. Длину вектора AD1−→−−

(Где необходимо — округли ответ до сотых.)

Answer 1

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать свойства параллелограмма и пифагорову теорему.

1. Длина вектора B1C−→−− :
Мы знаем, что точка L - середина вектора B1C1. По свойству параллелограмма, вектор BL−→−− будет равен вектору B1C−→−−, так как вектор B1C−→−− это диагональ параллелограмма.
Теперь рассмотрим грань ABCB1 параллелепипеда. Она является прямоугольным треугольником AB1C со смежными катетами AB и ACB1.
Известно, что AB = 9 и BC = 12. Мы можем использовать пифагорову теорему для нахождения длины гипотенузы ACB1:
ACB1 = √(AB^2 + BC^2) = √(9^2 + 12^2) = √(81 + 144) = √225 = 15.
Таким образом, длина вектора B1C−→−− равна 15.

2. Длина вектора AD1−→−− :
Мы можем использовать тот же треугольник ABCB1, чтобы найти длину вектора AD1−→−−. Заметим, что AD1−→−− это высота треугольника ABCB1, и по определению высоты, она перпендикулярна стороне BC.
Мы уже нашли длину гипотенузы ACB1, которая равна 15, и знаем, что двугранный угол при ребре AB равен 60°. Так как BC = 12, то у нас есть прямоугольный треугольник с гипотенузой ACB1 = 15 и катетом BC = 12.
Теперь мы можем использовать тригонометрическую функцию синус для нахождения длины высоты AD1−→−−:
sin(60°) = BC/ACB1
sin(60°) = 12/ACB1
ACB1 = 12/sin(60°) = 12/√3 = 4√3.
Таким образом, длина вектора AD1−→−− равна 4√3 (округлено до сотых).