Скалярное произведение (AB·BD) = 27.
Объяснение:
В равностороннем треугольнике ABC : BD-медиана. AC=6.
Найти скалярное произведение векторов (AB·BD ).
Скалярное произведение векторов - это произведение их модулей на косинус угла между ними.
В правильном треугольнике стороны равны, углы равны 60°, а медиана совпадает с высотой и биссектрисой. Следовательно, модуль вектора BD равен
BD = √(36-9) = √27 = 3√3 ед.
Угол между векторами АВ и BD равен 30° (BD - биссектриса).
Cos30 = √3/2.
Тогда скалярное произведение равно
(АВ·BD) = 6·3√3·√3/2 = 27.
Нам дано, что BM - биссектриса (на рисунке) , значит угол ABM равен углу CBM по определению биссектрисы
Она же есть высота. По определению высоты BM перпендикулярна AC, значит углы AMB и CMB равны между собой (каждый по 90 градусов)
А также сторона BM - общая для треугольников ABM и CBM, значит эти два треугольника равны по 2-му признаку равенства треугольников.
В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны (и наоборот) . Прямые углы AMB и CMB равны, значит и стороны, лежащие против них AB и CB. По определению, треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным.
Утверждение доказано.