В правильный шестиугольник вписана окружность радиусом 8 см. Найдите сторону шестиугольника, площадь, радиус описанной около него окружности.
================================================================
Свойства правильного шестиугольника:• Все углы правильного шестиугольника равны по 120°• Диагонали являются биссектрисами его углов и при этом разбивают шестиугольник на шесть равных правильных треугольников• Высоты образовавшихся правильных треугольников являются радиусами вписанной окружности в шестиугольник, а стороны являются радиусами описанной окружности. Сторона правильного треугольника рассчитывается через его высоту ⇒ а = 2√3•h/3AB = 2√3•OH/3 = 2√3•8/3 = 16√3/3 см - сторона шестиугольника и радиус описанной около него окружности• Бо'льшая диагональ шестиугольника в два раза больше его стороны: D = 2а , BE = 2•AB. Ме'ньшая диагональ рассчитывается через сторону: d = a√3 , AC = AB•√3• Площадь правильного шестиугольника равна сумме площадей шести правильных треугольников. Площадь правильного треугольника рассчитывается через его сторону ⇒ S deo = a²•√3/4 = AB² • √3/4S abcdef = 6 • AB²• ( √3/4 ) = 3•AB²• ( √3/2 ) = 3•( 16√3/3 )² • ( √3/2 ) = 128√3 см² ОТВЕТ: а = R = 16√3/3 см ; S = 128√3 см²
Для подобных треуг-ов запишем соотношение сходственных сторон:
АО : BO = CO : DO.
AO = AB - BO, CO = CD - DO. Т.к. АВ=CD, можно записать, что
CO=AB - DO.
Подставим это в выражение отношения сходственных сторон:
(AB - BO) : BO = (AB - DO) : DO
DO*(AB - BO) = BO*(AB - DO)
DO*AB - DO*BO = BO*AB - BO*DO
DO*AB=BO*AB
DO=BO, треугольник BOD - равнобедренный