осталось 15 минут!! Коло, вписане в рівнобедрений трикутник, ділить бічну сторону на відрізки 5 см і 7 см, рахуючи від вешини трикутника. Знайти периметр трикутника.
Оказалось непросто, даже почти забанили за самоуверенность. Но решение простое. Итак: Треугольник ABC. Высота BD. Обозначим длину искомого отрезка - х (EF). BD=4, AD=1, DC=8, Задача сводится к тому, чтобы прировнять площади двух получившихся фигур, S1 (маленький треугольник CEF) и S2 (сложная фигура, состоящая из треугольника ABD и прямоугольной трапеции BEFD. Отношение сторон треугольника ECF равно отношению в BCD. Следовательно если EF=x, то CF=2x. Находим площадь S1=(x*2x)/2=x²; То есть S2=S1, но вместе с тем S2+S1=Sобщ. Sобщ=(4*8)/2+(4*1)/2=18; Sобщ=2S1=2x²=18; x²=9; x=3. ответ: длина отрезка = 3.
За основу решения примем теорему об отношении площадей треугольника: 1. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания. 2. Если основания двух треугольников равны, то их площади относятся как высоты. Пусть площадь △ АВС=а Рассмотрим треугольники АВС и МРС. Через вершину В проведем ОН параллельно МС. В треугольнике МРС отрезок РА - медиана, т.к. МА=АС; АВ=ВР по условию ⇒ ОН=АС и является средней линией △ МРС Высота РТ △ МРС в два раза больше высоты h △ АВС, основание МС в два раза больше АС. Следовательно, площадь МРС=4a Рассмотрим треугольники АВС и МСК. Основания ВС=СК, МС =2 АС, следовательно, и высота треугольника МСК из М вдвое больше высоты треугольника АВС, отсюда площадь △ МСК=2а Рассмотрим треугольники АВС и РВС Основания АВ=ВР, высота из С у них общая.⇒S ВРС= S АВA=аТреугольники РВС и РСК равновелики - ВС=СК и высота РЕ из Р - общая. ⇒ площадь треугольника РСК=площади треугольника ВСР=а, Итак, S△МРС=4 а S △ МСК =2а S △ РСК=а ⇒ S △ РМК=4 а+2 а+ а=7а, из чего следует, что площадь треугольника РМК в 7 раз больше площади треугольника АВС.
