По условию 3A+2B=180 . так как сумма углов в треугольнике равна 180 , получаем B+3C=360 и 2C-A=180 из теореме синусов AC=(BC*sinB)/sinA и AB=(BC*sinC)/sinA По теореме косинусов AB^2=BC^2+AC^2-2AC*BC*cosC , приравнивая к AB^2=BC^2+AC*AB получаем AC-AB = 2*BC*cosC подставляя AC и AB выраженные через BC, требуется доказать что sinB - sinC = 2*sinA*cosC (sinB-sinC)/(2*sinA) = cosC Подставляя углы (sin(360-3C)-sinC)/(2*sin(2C-180)) = -4*sinC*cos^2(C)/(-2*sin(2C)) = 2*sinC*cosC*cosC/(2*cosC*sinC) = cosC чтд.
Из свойства касательных: 1. касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания⇒ ∠ОСА=90°, тогда по т. Пифагора АС=√(ОА²-ОС²)=√(25-9)=4см; 2. отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности⇒ АС=АВ, ΔАВС-равнобедренный, в равнобедренном Δ биссектриса является высотой и медианой. АК⊥ВС, ВК=КС. Используем соотношение пропорциональных отрезков: в прямоугольном треугольнике каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу, поэтому в ΔОВА АК=АВ²/ОА=16/5=3,2см, ОК=ОА-АК=5-3,2=1,8 см. ΔОВК-прямоугольный, ВК=√(ОВ²-ОК²)=√(9-3,24)=2,4см ВС=2ВК=2*2,4=4,8см
из теореме синусов AC=(BC*sinB)/sinA и AB=(BC*sinC)/sinA
По теореме косинусов AB^2=BC^2+AC^2-2AC*BC*cosC , приравнивая к AB^2=BC^2+AC*AB получаем AC-AB = 2*BC*cosC подставляя AC и AB выраженные через BC, требуется доказать что
sinB - sinC = 2*sinA*cosC
(sinB-sinC)/(2*sinA) = cosC
Подставляя углы
(sin(360-3C)-sinC)/(2*sin(2C-180)) = -4*sinC*cos^2(C)/(-2*sin(2C)) =
2*sinC*cosC*cosC/(2*cosC*sinC) = cosC чтд.