24 см и 10 см.
Объяснение:
Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны.
АВ+СD=АD+ВС
Проведем АС; ΔАВС - прямоугольный. Найдем АС из ΔАСD по теореме косинусов:
АС²=СD²+АD²-2*СD*АD*cos 60°=256+900-960*1/2=676;
АС=√676=26 см.
Если АВ+30=ВС+16, то ВС-АВ=14 см;
Пусть ВС=х см, тогда АВ=х-14 см.
По теореме Пифагора АС²=АВ²+ВС²; 676=(х-14)²+х²;
х²+х²-28х+196-676=0
2х²-28х-480=0
х²-14х-240=0
По теореме Виета
х=-10 (не подходит по условию) и х=24.
ВС=24 см; АВ=24-14=10 см.
Диагонали квадрата перпендикулярны, равны, точкой пересечения делятся пополам.
Сторона квадрата 8, половина диагонали AO=4√2 см.
Перпендикуляр к плоскости перпендикулярен любой прямой в плоскости.
AOK=90, из треугольника AOK по теореме Пифагора
AK= √(AO^2+OK^2) =√(32+100) =√132 =2√33 (см)
Треугольники AOK и BOK равны по двум катетам, AK=BK. Аналогично с остальными вершинами, точка K равноудалена от вершин основания.
(Пересечение диагоналей прямоугольника - центр описанной окружности. Если вершина пирамиды проецируется в центр описанной окружности основания - боковые ребра равны.)
