Question

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O – центр основания, S – вершина, SB=13, AC=24. Найдите объем пирамиды. Именно объем пирамиды, не длины отрезков

Answer 1

Для начала, давай разберемся с определениями и свойствами, чтобы понять, как решить эту задачу.

Правильная четырехугольная пирамида — это пирамида, у которой основание является прямоугольником, все ее грани (боковые треугольники и передняя грань) равны и равны между собой.

Ок, теперь давай рассмотрим данную нам пирамиду. У нас есть вершина пирамиды (S), центр основания (O) и основание ABCD. Задача состоит в вычислении объема пирамиды.

Важным свойством правильной четырехугольной пирамиды является то, что центр основания (O) и вершина пирамиды (S) соединены между собой прямой линией, которая является высотой пирамиды. Обозначим эту высоту как h.

Чтобы решить задачу, нам понадобится длина высоты и площадь основания. Длину высоты мы определили как h, а площадь основания (площадь прямоугольника ABCD) нам не дана. Однако, в пирамиде SABCD мы знаем длину одной из сторон прямоугольника SB=13, а также одну из его диагоналей, равную AC=24.

Чтобы найти площадь прямоугольника ABCD, нам понадобятся длины его сторон AB и BC. Чтобы найти их, воспользуемся теоремой Пифагора, так как у нас есть одна сторона (AC) и диагональ (AC).

Применяя теорему Пифагора для треугольника ABC, получаем:
AB^2 + BC^2 = AC^2

Подставляем известные значения:
AB^2 + BC^2 = 24^2
AB^2 + BC^2 = 576

Теперь, чтобы найти площадь основания ABCD, умножаем длину стороны AB на BC:
AB * BC = √AB^2 * BC^2 = √576 = 24
Таким образом, площадь основания пирамиды равна 24.

Ок, теперь у нас есть все необходимые значения для вычисления объема пирамиды. Формула для объема пирамиды выглядит следующим образом:
V = (1/3) * S * h,

где V - объем, S - площадь основания, h - длина высоты.

Подставляем известные значения:
V = (1/3) * 24 * h

Теперь нам нужно найти значение h. В пирамиде SABCD у нас есть прямой треугольник SAB, где мы знаем одну сторону SB=13 и гипотенузу SA (это длина высоты пирамиды). Можем воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы найти SA.

Применяя теорему Пифагора для треугольника SAB, получим:
SA^2 = SB^2 + AB^2
SA^2 = 13^2 + AB^2

Здесь мы не знаем значение длины AB, но мы можем его найти, используя площадь основания, которую мы уже нашли (24). Площадь прямоугольника ABCD равна AB * BC, поэтому AB = 24/BC. Возвращаясь к формуле, получим:
SA^2 = 13^2 + (24/BC)^2

Теперь, чтобы найти значение SA, возьмем квадратный корень от обеих сторон:
SA = √(13^2 + (24/BC)^2)

Мы нашли значение длины высоты пирамиды SA. Теперь можем вернуться к формуле объема и подставить все значения:
V = (1/3) * 24 * √(13^2 + (24/BC)^2)

Таким образом, получаем окончательный ответ по задаче.