Если в осевом сечении цилиндра квадрат, то диаметр его основания равен высоте. Диаметр основания цилиндра равен диаметру описанной окружности основания призмы. Рассмотрим треугольник ABC с основанием AC и углом B=120, AB=BC=6. Проведем высоту BH, она разделит треугольник на два прямоугольных треугольника с углами 30, 60, 90. Тогда AH=3sqrt(3), а AC=6sqrt(3). Площадь треугольника найдем по формуле S=1/2absina=1/2*6*6*sqrt(3)/2=9sqrt(3) Радиус описанной окружности найдем по формуле R=abc/4S=216sqrt(3)/36sqrt(3)=6. Диаметр и высота цилиндра равны 12. Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту, и равен pi*r*r*h=36pi*12=432pi.
Пирамида правильная, значит в основании правильный треугольник, а боковые грани - равные равнобедренные треугольники.
Пусть Н - середина ВС.
Тогда АН⊥ВС (как медиана правильного треугольника) и SH⊥ВС (так как ΔSBC равнобедренный), тогда
∠SHO = 45° - линейный угол двугранного угла при основании.
ОН = а√3/6 = 4√3/6 = 2√3/3 как радиус вписанной в основание окружности.
ΔSOH равнобедренный прямоугольный, значит SO = OH = 2√3/3
Sabc = a²√3/4 = 16√3/4 = 4√3
V = 1/3 · Sabc · SO = 1/3 · 4√3 · 2√3/3 = 8/3 куб. ед.