Окружность с радиусом 8,3 см вписана в прямоугольный треугольник. Найди периметр треугольника, если точка касания Q делит гипотенузу на отрезки, равные 14,9 и 8 см. Вырази ответ в см
Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать свойства прямоугольного треугольника и свойства окружности.
Для начала, обозначим вершины треугольника как A, B и C, где A и B - это точки касания окружности с гипотенузой, а C - противолежащий угол.
Мы знаем, что точка Q делит гипотенузу на отрезки 14,9 см и 8 см. По свойству подобия треугольников и симметрии, отрезок от вершины C до точки Q также равен 8 см, а отрезок от точки Q до вершины A равен 14,9 см.
Так как точка Q является точкой касания окружности с треугольником, мы знаем, что отрезок от точки Q до точки касания совпадает с радиусом окружности. Значит, отрезок QC равен 8,3 см.
Теперь мы можем рассмотреть треугольник QCB. Этот треугольник является прямым, так как точка Q является точкой касания с окружностью. Значит, у нас есть два катета - отрезки QC и CB, и одна гипотенуза - отрезок QB.
Мы можем применить теорему Пифагора для этого треугольника:
QB^2 = QC^2 + CB^2
QB^2 = 8,3^2 + 8^2
QB^2 = 68.89 + 64
QB^2 = 132.89
QB ≈ 11.54 см
Таким образом, мы нашли длину гипотенузы - отрезка QB. Чтобы найти периметр треугольника, нам нужно сложить длины всех его сторон.
Периметр треугольника ABC = QA + QB + AC
Так как у нас есть только одна сторона - QB, давайте найдем длины сторон QA и AC с помощью подобия треугольников.
Заметим, что треугольники QBA и QCA подобны через общий угол BQ и угол при вершине Q.
Так как соотношение сторон треугольников равно соотношению сторон окружностей, получаем:
QB / QA = QC / AC
11.54 / QA = 8.3 / AC
AC = (8.3 / QC) * QA
AC = (8.3 / 8) * 14.9
AC ≈ 15.34 см
Теперь, когда у нас есть длина всех сторон треугольника, мы можем найти его периметр:
Периметр треугольника ABC = 14.9 + 11.54 + 15.34
Периметр треугольника ABC ≈ 41.8 см
