Question

Даны вершины треугольника ABC : A(1; 2;3) , B(4; -10; 7),
С(3;-1;9).
Найти: Середину отрезка СВ. Найти медиану АД. Площадь
треугольника АВС.

Answer 1

Дано:

∆ABC

A(1;2;3)

B(4;-10;7)

C(3;-1;9)

Найти:

середину отрезка CB

Медиану AD

площадь ∆ABC

Пусть точка D лежит на середине отрезка CB, тогда справедливы равенства

Dx = (Cx + Bx)/2

Dy = (Cy + By)/2

Dz = (Cz + Bz)/2

Подставим известные нам величины

Dx = 3.5

Dy = -5.5

Dz = 8

То середина отрезка CB имеет координаты D(3.5;-5.5;8)

Медиана AD имеет длину, равную $AD = \sqrt{(Ax - Dx)^2 + (Ay - Dy)^2 + (Az - Dz)^2} = \sqrt{(1 - 3.5)^2 + (2 + 5.5)^2 + (3 - 8)^2} = \sqrt{87.5} = 5\sqrt{\frac{7}{2}}$

Таким же образом находим длины сторон треугольника

$AB = \sqrt{(Ax - Bx)^2 + (Ay - By)^2 + (Az - Bz)^2} = \sqrt{(9 + 144 + 16} = \sqrt{169} = 13$

$CB = \sqrt{(Cx - Bx)^2 + (Cy - By)^2 + (Cz - Bz)^2} = \sqrt{(1 + 81 + 4} = \sqrt{86}$

$AC = \sqrt{(Ax - Cx)^2 + (Ay - Cy)^2 + (Az - Cz)^2} = \sqrt{(4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$

Воспользуемся формулой Герона

$p = \frac{20 + \sqrt{86} }{2} = 10 + \sqrt{21.5}$

$S = \sqrt{p(p - AB)(p - AC)(p - BC)} = \sqrt{(10 + \sqrt{21.5})(10 + \sqrt{21.5} - 13)(10 + \sqrt{21.5} - 7)(...)}$$S = \sqrt{(10 + \sqrt{21.5})(\sqrt{21.5} - 3)(3 + \sqrt{21.5})(10 + \frac{\sqrt{86}}{2} - \sqrt{86})}$

$S = \sqrt{(10 + \frac{\sqrt{86} }{2} )(10 - \frac{\sqrt{86} }{2} )(\frac{86}{4} - 9)}$

$S = \sqrt{(100 - \frac{86}{4})*12.5} = \sqrt{12.5*78.5} = \sqrt{981,25} = \frac{\sqrt{3925}}{2} = 2.5\sqrt{157}$

ответ: D(3.5;-5.5;8) ; $5\sqrt{3.5}$ ; $2.5\sqrt{157}$

Внизу приложил как точки располагаются в пространстве