Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды относятся, как 3:2. Высота пирамиды равна 3. Боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 60°. Найдите объем пирамиды .
Дано :
ABCDA₁B₁C₁D₁ _ правильная усеченная пирамида
AB = BC=CD=DA =a ; A₁B₁ = B₁C₁=C₁D₁=D₁A₁ =a
a : b =3 : 2 ; H =3 ; ∠A₁A0 = 60°
V - ?
V = (1/3)*( S₁ + √S₁S₂ + S₂)*h = [ a =1,5b , h=3 ] = (1/3)*3*( a²+ ab + b²)=
Пусть углы при осн.равны-х ,тогда тупой угол равен 4х ,медиана в равноб.треуг так же явл высотой и биссектрисой ,получается ,что треуг (который получается при делении большего высотой ,т.есть любой из них, они оба равны ) прямоуг. высота перпен.осн. значит один из углов равен 90град. следовательно на остальные 2 так же приходится 90 град .значит х+2х =90 ,тогда х=30 гдад. теперь по свойству .катеп (т.есть (медиана =а) лежащий против угла в 30 град равен половине гипотинузы (боковой стороны треуг ) значит боковая сторона=2а
Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды относятся, как 3:2. Высота пирамиды равна 3. Боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 60°. Найдите объем пирамиды .
Дано :
ABCDA₁B₁C₁D₁ _ правильная усеченная пирамида
AB = BC=CD=DA =a ; A₁B₁ = B₁C₁=C₁D₁=D₁A₁ =a
a : b =3 : 2 ; H =3 ; ∠A₁A0 = 60°
V - ?
V = (1/3)*( S₁ + √S₁S₂ + S₂)*h = [ a =1,5b , h=3 ] = (1/3)*3*( a²+ ab + b²)=
= (1,5b)²+ 1,5b*b + b² = 4,75b²
Остается вычислить b
AA₁C₁С - трапеция , проведем A₁H ⊥ AC ,∠A₁AH = 60°
AC = a√2 = 1,5b√2 ; A₁C₁ = b√2
AH = (AC - A₁C₁) /2 =( 1,5b√2 - b√2 ) /2 = 0,25√2*b
Из ΔAHA₁ : h =A₁H =AH*tg60° = 0,25√2*b*√3= 0,25√6 * b
b=h / 0,25√6 = 3 / 0,25√6 =4*3 /√6 =2√6
V =4,75b² =4,75*(2√6)² =4,75*4*6 =19*6 =114
ответ: 114 .