Question

18. (Б) В четырёхугольнике АБСД стороны АБ и СД равны. Его диагонали тоже равны и пересекаются в точке . Докажите, что АО = .ДО

Answer 1

Для решения данной задачи нам потребуется знание основных свойств четырехугольников и параллелограммов.

Дано, что стороны AB и CD четырехугольника ABCD равны. Пусть точка пересечения диагоналей называется O.

Чтобы доказать, что AO = DO, нам нужно предоставить подтверждающие доказательства. Один из возможных способов - использовать свойства параллелограмма.

Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. В данном случае, стороны AB и CD параллельны, так как они равны.

Также, свойством параллелограмма является то, что его диагонали делятся пополам. Это означает, что точка пересечения диагоналей O делит каждую диагональ пополам.

Теперь приступим к формальному доказательству.

Доказательство:

1. По условию дано, что стороны AB и CD равны.

2. Из свойств параллелограмма следует, что стороны AB и CD параллельны.

3. Так как стороны АВ и СD параллельны и равны, то четырехугольник ABCD является параллелограммом.

4. По свойству параллелограмма, его диагонали делятся пополам.

5. Пусть точка пересечения диагоналей равна O.

6. Точка O делит диагональ AB пополам. Обозначим это как AO = OB.

7. Точка O также делит диагональ CD пополам. Обозначим это как CO = OD.

8. Из пунктов 6 и 7 следует, что AO = OB и CO = OD.

9. Просуммируем равенства AO = OB и CO = OD: AO + CO = OB + OD.

10. Поскольку d(AO + CO) = AC и d(OB + OD) = BD, получаем, что AC = BD.

11. Так как диагонали AC и BD равны, то точка O является серединой отрезка AC и BD.

12. Из пункта 11 следует, что AO = DO.

Таким образом, мы показали, что AO = DO, что и требовалось доказать.

Данное доказательство использует свойства параллелограмма, основные понятия геометрии и рассуждения, которые должны быть доступны школьникам.