Дан треугольник АВС, СL - биссектриса. Точка К лежит на CL. Сделаем рисунок. На стороне ВС отложим длину СМ=АС. Соединим К и М. Треугольники АСК и МСК равны по двум сторонам и углу между ними. КМ=АК По условию задачи ВС=АС+АК Тогда КМ= ВМ, и треугольник ВМК - равнобедренный. Угол КМС равен углу САК из доказанного выше равенства треугольников. Угол КМС - внешний угол при вершине М треугольника ВМК и равен сумме несмежных с ним внутренних углов. Так как углы КВМ и МКВ равны, ∠ КМС=2∠СВК, а значит, что и ∠САК равен 2∠СВК, что и требовалось доказать.
На большей стороне биссектриса прямого угла отсекает отрезок, равный боковой (меньшей) стороне. Оставшийся отрезок большей стороны является стороной треугольника, в котором можно определить биссектрису, а два прилегающие к ней угла известны: 30° и 180-45 = 135°. Биссектрису определим из площади: обозначим боковую сторону х. Площадь 12,5 = (1/2)*х*х х² = 25 х = 5. Биссектриса будет равна 5√2. По теореме синусов определяем отрезок большей стороны: в = ((5√2)*sin 30) / sin(180-30-135) = 13.660254 см. Тогда большая сторона равна 5 + 13.660254 = 18.660254 см. Площадь прямоугольника равна 5* 18.660254 = 93.30127 см².
В прямоугольном треугольнике катет противолежащий углу в 30° равен половине гипотенузы.
В прямоугольном треугольнике катет противолежащий углу в 60° равен меньшему катету умноженному на √3.
Сумма углов треугольника равна 180°.
Из условия задачи:
∠C = 90°
∠A = 60°
Тогда ∠B = 180°-90°-60° = 30°.
Гипотенуза (BA) равна 10 см.
Сторона AC противолежащая углу B равному 30° равна половине гипотенузы (BA), то есть 10:2=5 см.
Сторона BC противолежащая углу A равному 60° равна
стороне AC (5 см) умноженной на √3, то есть 5√3.
ответ: сторона BC равна 5√3.