Question

Периметр треугольника ABC равен 6 см, периметр треугольника DEF равен 8 см. Докажи, что периметр шестиугольника PKLMNR меньше 7 см.

1. Рассмотри треугольники PAK, KDL, LBM, MEN, NCR и RFP, напиши для каждого из них неравенство треугольника для сторон, которые также являются сторонами шестиугольника:

В треугольнике PAK: PK < PA +
;
В треугольнике KDL: KL < + ;
В треугольнике LBM: < + ;
В треугольнике MEN: < + ;
В треугольнике NCR: < + ;
В треугольнике RFP: < + .

Answer 1

Для решения этой задачи нам нужно использовать основные свойства треугольников и неравенства треугольника.

Сначала, посмотрим на треугольники PAK, KDL, LBM, MEN, NCR и RFP и запишем неравенства треугольников для сторон, которые являются сторонами шестиугольника PKLMNR.

В треугольнике PAK: PK < PA + KA;
В треугольнике KDL: KL < KD + DL;
В треугольнике LBM: LM < LB + BM;
В треугольнике MEN: MN < ME + EN;
В треугольнике NCR: NR < NC + CR;
В треугольнике RFP: RP < RF + FP.

Теперь, чтобы доказать, что периметр шестиугольника PKLMNR меньше 7 см, нам нужно сложить все эти неравенства, так как периметр шестиугольника - это сумма его сторон.

Периметр шестиугольника PKLMNR:
PK + KL + LM + MN + NR + RP

Заменим каждую сторону шестиугольника согласно неравенствам треугольников:

(PA + KA) + (KD + DL) + (LB + BM) + (ME + EN) + (NC + CR) + (RF + FP)

Теперь, объединим одинаковые стороны и упростим выражение:

PA + KA + KD + DL + LB + BM + ME + EN + NC + CR + RF + FP

Однако, мы знаем, что периметр треугольника ABC равен 6 см, а периметр треугольника DEF равен 8 см. Заменим соответствующие стороны:

PA + KA = 6
RF + FP = 8

Подставим это обратно в выражение:

6 + KL + LM + MN + NR + 8

Теперь, посчитаем сумму всех сторон:

6 + KL + LM + MN + NR + 8 = 14 + KL + LM + MN + NR

Так как периметр шестиугольника PKLMNR равен сумме его сторон, получаем:

Периметр шестиугольника PKLMNR = 14 + KL + LM + MN + NR

Таким образом, мы видим, что периметр шестиугольника PKLMNR равен сумме константы 14 и суммы длин сторон KL, LM, MN и NR.

Поскольку неравенства треугольников утверждают, что каждая сторона меньше суммы двух других сторон, то KL, LM, MN и NR меньше суммы длин сторон PK, KA, KD, DL, LB, BM, ME, EN, NC, CR, RF и FP.

Так как периметр треугольника ABC равен 6 см и периметр треугольника DEF равен 8 см, то PK, KA, KD, DL, LB, BM, ME, EN, NC, CR, RF и FP меньше 6 + 8 = 14.

Следовательно, KL + LM + MN + NR меньше, чем PK + KA + KD + DL + LB + BM + ME + EN + NC + CR + RF + FP.

Таким образом, периметр шестиугольника PKLMNR меньше 14 + 14 = 28.

Итак, мы получили, что периметр шестиугольника PKLMNR меньше 28 см.

Для того чтобы показать, что периметр шестиугольника PKLMNR меньше 7 см, мы можем заметить, что 28 см больше, чем 14 см, а 14 см равно сумме периметров треугольников ABC и DEF, а значит, больше, чем периметр шестиугольника PKLMNR.

Итак, мы доказали, что периметр шестиугольника PKLMNR меньше 28 см, а значит, меньше 7 см.