я тут уже решал подобную задачу столько раз, что не помню, когда был первый.
Точки пересечения биссектрис - это центры окружностей, касающихся левой (или правой) стороны и обеих оснований. Поэтому отрезок, соединяющий эти центры - ЧАСТЬ СРЕДНЕЙ ЛИНИИ :))). Далее, если бы эти центры совпадали, то длина средней линии была бы равна ПОЛУСУММЕ БОКОВЫХ СТОРОН, то есть 14. (в этом случае трапеция была бы "ОПИСАНА ВОКРУГ ОКРУЖНОСТИ", а у таких 4угольников суммы противоположных сторон равны). Поэтому ответ 21-14=7. :)))
(Именно на это расстояние как бы раздвинуты вписаные окружности - пояснение такое :))).
Еще вариант решения, по сути - такой же
Обе точки пересечения биссектрис лежат на одинаковом расстоянии от оснований, это - центры окружностей, касающихся оснований. Одна касается левого ребра 13, другая - правого 15. Если точки касаний делят верхнее основание на отрезки x, у, z, то сразу ясно, что z - искомое расстояние. И есть 3 соотношения.
z+x+y = b;
z+(13-x)+(15-y) = a;
(a + b)/2 = 21
Складываем и делим на 2.
z = 7
Еще вариант решения - проводим специальную касательную к ЛЕВОЙ ОКРУЖНОСТИ (то есть - с центром в точке F), параллельную СD. Легко видеть, что окружность с центром в F вписана в трапецию с основаниями (13 - z) и (15 - z), где z - ИСКОМОЕ РАССТОЯНИЕ между центрами. Далее - см. начало :)))
Я набрал решение к этой задаче, полчаса потратил, а все пропало куда-то, чертеж прыгнул в другую задачу. Бред какой-то.
Треугольник АВС прямоугольный, так как АВ - диаметр. Кроме того, ВС = АВ/2. Поэтому АС - касательная к окружности с центром в точке В, а угол САВ = 30 градусов, угол СВА = 60 градусов.
Точно так же AD - касательная ко второй окружности, и угол BAD = 30; угол ABD = 60
Треугольник ABD - правильный.
Угол АМС = угол АВС - оба опираются на дугу АС первой окружности.
Угол АМС = 60 градусов
Точно так же угол AMD = 60 градусов.
Углы САМ и CDM опираются на дугу СМ первой окружности, поэтому они равны.
Угол ЕDC опирается на дугу CE второй окружности (с центром в В), а угол АСЕ - это угол между касательной СА и хордой СЕ дуги СЕ. Поэтому он равен углу EDC.
Осталось заметить, что угол СЕМ = угол САМ + угол АСЕ = угол СDM + угол EDC = угол EDM.
Легко видеть, что в треугольниках СЕМ и DEM есть 2 пары равных углов (причем одна пара - это углы в 60 градусов)
Поэтому треугольники СЕМ и DEM подобны, и МС/ME = ME/MD; ME^2 = a*b