1. Диагонали ромба делятся пополам. Тогда в прямоугольном треугольнике SOC по Пифагору найдем высоту пирамиды SO. SO = √(SC²-OC²) = √(15²-9²) = 12 см.
В прямоугольном треугольнике SOD по Пифагору найдем гипотенузу SD (меньшую боковую грань пирамиды).
SD = √(SO²+OD²) = √(12²+5²) = 13 см.
2. Пирамида правильная => в основании лежит правильный треугольник, а вершина проецируется в центр треугольника (пересечение высот и медиан - в правильном треугольнике это одно и то же). Двугранный угол при стороне основания - это угол между апофемой (высотой грани) и плоскостью основания, то есть это угол SHO. Тогда в прямоугольном треугольнике SHO угол OSH равен 30 градусов (по сумме острых углов треугольника) и гипотенуза SH = 2·OH (по свойству катета, лежащего против угла 30 градусов). По Пифагору 4·ОН² - ОН² = SO². Или 3·ОН² = 36. =>
ОН = 2√3 см. => SH = 4√3 см. ОН - это 1/3 высоты основания. Высота основания ВН = 3·2√3 = 6√3 см. Сторону основания найдем из формулы высоты основания:
h = (√3/2)·h => a = 2h/√3 = 12 см.
Тогда площадь основания пирамиды равна по формуле:
So = (√3/4)·а² = 36√3 cм². Площадь боковой грани (площадь треугольника) равна
№1,№2 . Решение в приложениях. №3. Дано: ΔАВС - равнобедренный АВ=ВС= 5 см - боковые стороны , АС - основание ВН ⊥ АС , ВН = 4 см ΔА₁В₁С₁ - равнобедренный А₁В₁ = 15 см - боковые стороны , А₁С₁ - основание В₁Н₁⊥А₁С₁ ∠АВС = ∠А₁В₁С₁ Найти: Р а₁в₁с₁ - ? Решение. I. Рассмотрим равнобедренный ΔАВС: 1) АВ=ВС=5 см (боковые стороны) 2) ∠А = ∠С (углы при основании АС) 3) ВН - высота к основанию АС => ∠АНВ =∠СНВ=90° . Т. : Высота к основанию равнобедренного треугольника является медианой и биссектрисой. ВН - медиана => АН=НС => AC = AH+HC = 2AH=2HC BH - биссектриса => ∠АВН=∠СВН Следовательно ΔАВН и ΔСВН - прямоугольные и равные треугольники. 4) Рассмотрим ΔАВН: AB=5 см - гипотенуза; АН, ВН=4см - катеты Т. Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. АВ²=АН²+ВН² => AH=√(AB²-BH²) => AH=√(5² - 4²) = √(25-16)=√9 = 3 (см) Из п.3) АС=2АН => АC=2*3 = 6 (см) 5) Равс = АВ+ВС+АС => Pавс = 5 + 5 + 6 = 16 (см)
II. 1) Т. : Равнобедренные треугольники подобны, если у них углы между боковыми сторонами равны => ΔАВС ~ ΔA₁B₁C₁ : ∠АВС = ∠А₁В₁С₁ (по условию) , АВ~A₁B₁ , ВС~В₁С₁ , АС ~ A₁C₁ 2) Сходственные стороны подобных треугольников пропорциональны и равны коэффициенту подобия: А₁В₁/АВ = В₁С₁/ВС= А₁С₁/АС = k => k = 15/5 = 3 3) Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: Ра₁в₁с₁/Равс = k = 3 => Pa₁в₁с₁ = 3Равс => Pa₁в₁с₁ = 3*16 = 48 (см)
1. 13 см. 2. Sполн = 108√3см².
Объяснение:
1. Диагонали ромба делятся пополам. Тогда в прямоугольном треугольнике SOC по Пифагору найдем высоту пирамиды SO. SO = √(SC²-OC²) = √(15²-9²) = 12 см.
В прямоугольном треугольнике SOD по Пифагору найдем гипотенузу SD (меньшую боковую грань пирамиды).
SD = √(SO²+OD²) = √(12²+5²) = 13 см.
2. Пирамида правильная => в основании лежит правильный треугольник, а вершина проецируется в центр треугольника (пересечение высот и медиан - в правильном треугольнике это одно и то же). Двугранный угол при стороне основания - это угол между апофемой (высотой грани) и плоскостью основания, то есть это угол SHO. Тогда в прямоугольном треугольнике SHO угол OSH равен 30 градусов (по сумме острых углов треугольника) и гипотенуза SH = 2·OH (по свойству катета, лежащего против угла 30 градусов). По Пифагору 4·ОН² - ОН² = SO². Или 3·ОН² = 36. =>
ОН = 2√3 см. => SH = 4√3 см. ОН - это 1/3 высоты основания. Высота основания ВН = 3·2√3 = 6√3 см. Сторону основания найдем из формулы высоты основания:
h = (√3/2)·h => a = 2h/√3 = 12 см.
Тогда площадь основания пирамиды равна по формуле:
So = (√3/4)·а² = 36√3 cм². Площадь боковой грани (площадь треугольника) равна
Sг = (1/2)·SH·АC = (1/2)·4√3·12 = 24√3 см². Таких граней три. =>
Sбок = 3·24√3 = 72√3 см². Площадь полной поверхности пирамиды равна
S = So+Sбок = 36√3+72√3 = 108√3см².