Question

Точка M не лежит в плоскости квадрата ABCD и равноудалена от его вершин. Докажите перпендикулярность плоскостей: 1) AMC и ABC;
2) AMC и BMD

Answer 1

Хорошо, давайте решим эту задачу по шагам.

1) Дано: точка M не лежит в плоскости квадрата ABCD и равноудалена от его вершин.

2) Построим прямую, проходящую через точку M и перпендикулярную плоскости ABCD. Обозначим эту прямую как t.

3) Определим точку пересечения прямой t с плоскостью ABCD и обозначим ее как O. Так как прямая t перпендикулярна к плоскости ABCD, то точка O будет лежать на ней.

4) Поскольку точка M равноудалена от вершин квадрата, она находится на пересечении биссектрис треугольников ABO, BCO, CDO и DAO.

5) Покажем, что прямая MO является биссектрисой треугольника ABC.

6) Рассмотрим треугольник AMO. В нем две равные стороны: AM и MO, так как M равноудалена от вершин квадрата, и соответствующие углы при них равны, так как MO является биссектрисой.

7) Таким образом, по признаку равных треугольников, треугольник AMO равен треугольнику BMO.

8) Аналогично, показывается, что прямая MO является биссектрисой треугольника BCD.

9) Из равенства треугольников AMO и BMO следует, что угол AMO равен углу BMO.

10) Угол AMO принадлежит плоскости AMC, а угол BMO принадлежит плоскости BMD.

11) Таким образом, углы AMO и BMO принадлежат разным плоскостям и имеют равные меры, что означает перпендикулярность плоскостей AMC и BMD.

12) Аналогично доказывается перпендикулярность плоскостей AMC и ABC.

Таким образом, мы доказали перпендикулярность обеих плоскостей AMC и ABC, а также AMC и BMD.