Апофема пирамиды является гипотенузой треугольника, в котором один катет - высота пирамиды, а другой - радиус вписанной окружности основания. Так как двугранный угол равен 60 градусам, то r=2, h=2sqrt(3), где r - радиус вписанной окружности, h - высота пирамиды. Радиус вписанной окружности правильного треугольника в 3 раза меньше его высоты, а высота в 2/sqrt(3) раз меньше стороны. Тогда площадь основания будет равна 3r*3r*2*sqrt(3)/2=36sqrt(3). Объем пирамиды равен произведению площади основания на высоту, деленный на 1/3. Тогда V=36sqrt(3)*2sqrt(3)/3=72.
Прощу прощения за возможные ошибки в вычислениях.
меньшее основание равно 5
решение (если вы изучали теорему синусов)
ПУсть АД - большее основание,ВС - меньшее
ПО формуле расчета площади треугольников на основании теоремы синусов,получаем
Площадь треугольника ОАД (S1)=ОА*АД*синус угла ОАД
Площадь треугольника ОСВ(S2)=ОС*ВС*синус угла ОСВ
угол ОАД =углу ОСВ,как вертикальные углы,значит,синусы их тоже равны
Получаем уравнение
S1/S2=ОА*АД*синус угла ОАД /ОС*ВС*синус угла ОСВ=32/8=4
так как синусы углов равны,то упрощаем данное уравнение
S1/S2=ОА*АД /ОС*ВС=4
ОА*АД /ОС*ВС=4
или
ОА /ОС * АД/ ВС = 4
так как треугольники ОАД и ОСВ - подобны(по второму признаку подобия - по двум углам),то ОА /ОС=АД/ ВС. Подставляем в уравнение
АД^2 /ВС^2 = 4,по условию АД=10
10^2/ВС^2=4
ВС^2=10^2/4=100/4=25
ВС=корень из 25
ВС1=5 - подходит
ВС2=-5 - не подходит (величина отрезка не может быть отрицательна)
ответ: меньшее основание трапеции равно 5