Question

Дано точки А(-1;-2;-1), B(-1;-1;0), C(-1; -1; -1). Знайдіть величину кута ВАС.

Answer 1

Відповідь:

45°

Пояснення:

Знайдемо координати векторів AB та AC. Вони дорівнюють різниці відповідних координат кінця та початку вектора:

A(-1; -2; -1), B(-1; -1; 0) ==> AB(-1+1; -1+2; 0+1) = (0; 1; 1)

A(-1; -2; -1), C(-1; -1; -1) ==> AC(-1+1; -1+2; -1+1) = (0; 1; 0)

Величину ∠BAC обчислимо із скалярного добутку щойно знайдених векторів, між якими й розміщений цей кут. Скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків їхніх відповідних координат. Модуль вектора a(x, y, z) можна знайти за формулою

$|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

$\vec{AB}*\vec{AC}=|AB|*|AC|*cos\angle(\vec{AB},\vec{AC})==cos\angle(\vec{AB},\vec{AC})=\frac{\vec{AB}*\vec{AC}}{|AB|*|AC|} \\cos\angle(\vec{AB},\vec{AC})=\frac{0*0+1*1+1*0}{\sqrt{0^2+1^2+1^2}*\sqrt{0^2+1^2+0^2} } =\frac{0+1+0}{\sqrt{0+1+1}*\sqrt{0+1+0} }=\frac{1}{\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2}$

Звідси ∠(AB, AC) = ∠BAC = 45°