(1 свойство параллелограмма) В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. Рассмотрим параллелограмм ABCD.Диагональ AC разделяет его на два треугольника:ABC и ADC. Эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам (AC- общая сторона, <1=<2 и <3=<4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD, AD и BC соответственно).Поэтому AB=CD, AD=BC и <B=<D. Далее, пользуясь равенствами углов 1 и 2, 3 и 4, получаем <A=<1+<3=<2+<4=<C. (2 свойство параллелограмма) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Пусть O - точка пересечения диагоналей AC и Bd параллелограмма ABCD. Треугольники AOB и COD равны по стороне и двум прилежащим углам (AB=CD как противоположные стороны параллелограмма, <1=<2 и <3=<4 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущими AC и BD соответственно). Поэтому AO=OC и OB=OD, что и требовалось доказать.
Свойства параллельных прямых:
Если параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
Если параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
Если параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.
Признаки параллельности прямых:
Если накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух прямых секущей, равны, то эти прямые параллельны.
Если соответственные углы, образованные при пересечении двух прямых секущей, равны, то эти прямые параллельны.
Если сумма односторонних углов, образованных при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то эти прямые параллельны.
Доказательство 1-го признака:
Дано: с∩а, с∩b, ∠1 = ∠2.
Доказать: a║b.
Доказательство:
Пусть А и В - точки пересечения прямой с с прямыми а и b соответственно. О - середина отрезка АВ.
Проведем через точку О прямую КН перпендикулярную прямой b.
АО = ОВ, ∠1 = ∠2 по условию, ∠АОН = ∠ВОК как вертикальные, значит ΔАОН = ΔВОК по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Значит ∠ВКО = ∠АНО = 90°, т.е. КН⊥b и КН⊥а, а если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны, т.е. a║b.