Биссектриса треугольника делит его противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам.
По условию, биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет на отрезки длиной 8 см и 17 см. Значит, один катет равен 8+17=25 см, другой катет равен 8k см, а гипотенуза равна 17k см (k-коэффициент пропорциональности).
По теореме Пифагора можно составить уравнение:
(17k)²= 25²+(8k)²
289k²=625+64k²
289k²-64k²=625
225k²=625
k²=625/225
k²=25/9
k=5/3
Катет прямоугольного треугольника равен 8*5/3 = 40/3 см
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, т.е.
Для решения данной задачи нам понадобятся знания о треугольниках и их свойствах.
Задачу можно решить, используя теорему синусов. Эта теорема утверждает, что отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла постоянно.
1. Найдём значение синуса угла при вершине 60 градусов.
Согласно свойствам равнобедренного треугольника, у которого угол при вершине равен 60 градусов, оба основания равны между собой. В данном случае основание равно 24√3.
Найдем значение синуса угла при вершине 60 градусов. Обозначим его через sin(60°).
Мы знаем, что sin(60°) = √3 / 2.
2. Найдём длину стороны треугольника, которая противолежит углу в вершине 60 градусов.
Согласно свойству равнобедренного треугольника, эта сторона также равна основанию и составляет 24√3.
3. Найдём значение синуса угла при основании, который составляет 30 градусов.
Учитывая, что угол в треугольнике равен 180°, вычтем из 180° сумму угла при вершине и угла при основании, чтобы найти третий угол треугольника.
Третий угол будет равен 180° - 60° - 30° = 90°.
Таким образом, у нас получается прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза равна стороне, противолежащей углу в вершине 60°, и катет равен высоте, опущенной на основание треугольника.
4. Найдём значение синуса угла при основании, используя теорему синусов.
Воспользуемся теоремой синусов для прямоугольного треугольника:
sin(30°) = (x / гипотенуза), где x - искомая высота треугольника.
Мы знаем значения sin(30°) = 1 / 2 и гипотенузу = 24√3.
Тогда получаем: 1 / 2 = (x / 24√3).
5. Теперь найдём высоту треугольника.
Умножим обе части уравнения на 24√3, чтобы избавиться от знаменателя:
1 / 2 * 24√3 = (x / 24√3) * 24√3.
Получаем: 12√3 = x.
Таким образом, высота треугольника, опущенная на основание, равна 12√3.
Для решения данной задачи, нужно использовать формулу объема тела вращения. Объемом тела вращения называется объем, образованный при вращении некоторой плоской фигуры вокруг некоторой оси.
Дано, что вращается прямоугольник, диагонали которого равны m, а острый угол между ними равен φ. Для начала, нам нужно найти высоту прямоугольника.
Высоту прямоугольника можно найти с помощью тригонометрических функций. Так как мы знаем длину диагонали и острый угол между ними, мы можем применить функцию синуса. Для данной задачи косинус будет более удобным, так как он связан с остротой угла.
Согласно свойствам прямоугольного треугольника, косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. В нашем случае, гипотенуза - это длина диагонали, а прилежащий катет будет высотой прямоугольника. Тогда можем записать уравнение:
cos(φ) = высота / m
Переобразуем уравнение, чтобы высота была выражена через известные значения:
высота = m * cos(φ)
Теперь, когда у нас есть высота прямоугольника, мы можем использовать формулу объема тела вращения. Формула состоит из интеграла, который позволяет найти объем фигуры, полученной при вращении определенной кривой вокруг оси.
Объем тела вращения V можно найти через определенный интеграл:
V = ∫(от a до b) A(y) dy,
где A(y) - площадь поперечного сечения фигуры, y - координата на оси, a и b - пределы интегрирования.
В нашем случае, мы создаем тело вращения при вращении прямоугольника вокруг его меньшей стороны, таким образом, поперечное сечение будет кругом с радиусом, равным высоте прямоугольника.
Площадь поперечного сечения круга A(y) можно найти с помощью формулы:
A(y) = π * (высота)^2
Теперь нам нужно определить пределы интегрирования, т.е. пределы, в которых происходит движение фигуры при вращении. Так как прямоугольник вращается вокруг меньшей стороны, длина этой стороны будет оставаться постоянной и перпендикулярной оси вращения. Тогда мы можем представить прямоугольник как отрезок на оси от 0 до высоты прямоугольника.
Таким образом, пределы интегрирования будут от 0 до высоты прямоугольника, которую мы нашли ранее: a = 0 и b = m * cos(φ).
Подставим все значения в формулу объема тела вращения:
V = ∫(от 0 до m * cos(φ)) π * (высота)^2 dy
Упростим выражение:
V = π * ∫(от 0 до m * cos(φ)) (m * cos(φ))^2 dy
V = π * ∫(от 0 до m * cos(φ)) m^2 * cos^2(φ) dy
V = π * m^2 * cos^2(φ) * ∫(от 0 до m * cos(φ)) dy
V = π * m^2 * cos^2(φ) * (y от 0 до m * cos(φ))
Раскроем интеграл:
V = π * m^2 * cos^2(φ) * [y] от 0 до m * cos(φ)
V = π * m^2 * cos^2(φ) * (m * cos(φ) - 0)
Упростим выражение:
V = π * m^3 * cos^3(φ)
Таким образом, объем тела вращения равен π * m^3 * cos^3(φ).
166 ²/₃ см²
Биссектриса треугольника делит его противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам.
По условию, биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет на отрезки длиной 8 см и 17 см. Значит, один катет равен 8+17=25 см, другой катет равен 8k см, а гипотенуза равна 17k см (k-коэффициент пропорциональности).
По теореме Пифагора можно составить уравнение:
(17k)²= 25²+(8k)²
289k²=625+64k²
289k²-64k²=625
225k²=625
k²=625/225
k²=25/9
k=5/3
Катет прямоугольного треугольника равен 8*5/3 = 40/3 см
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, т.е.
S = 1/2*25*40/3 =25*20/3 = 500/3 = 166 ²/₃ (см²)